"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Пирамида — многогранник, у которого одно основание-многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной. По форме основания различают треугольные, четырёхугольные и другие пирамиды. Если в основании n-угольник, то у пирамиды n боковых граней, n боковых рёбер, n + 1 вершина и 2n рёбер. Эти правила помогают распознавать пирамиды, считать их элементы и понимать, как устроены объёмные фигуры вокруг нас.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пирамида — многогранник, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Многогранник — объёмная фигура, поверхность которой составлена из многоугольников. Это определение помогает отличить пирамиду от других тел: у неё есть одно многоугольное основание и треугольные боковые грани.
Основание пирамиды — многоугольник, лежащий в плоскости, от которого строится пирамида. Плоскость — ровная поверхность, продолжающаяся во все стороны; основание задаёт нижнюю часть фигуры. Название основания подсказывает, с какой пирамидой мы имеем дело: например, основание-пятиугольник означает пятиугольную пирамиду.
Вершина пирамиды — точка вне плоскости основания, соединённая с вершинами основания. Она не лежит на основании и является общей для всех боковых треугольников. Это определение нужно, чтобы не путать вершину пирамиды с углами многоугольника в основании.
Боковая грань — треугольная грань пирамиды, а боковое ребро — отрезок, соединяющий вершину пирамиды с вершиной основания. Грань — плоская часть поверхности многогранника, а ребро — линия, где встречаются две грани. Эти названия позволяют точно описывать части фигуры и считать их отдельно от основания и его сторон.
Чтобы получить пирамиду, сначала выбирают многоугольник-основание и точку вне его плоскости. Затем эту точку соединяют отрезками со всеми вершинами основания. Почему точка должна быть вне плоскости? Если поместить её в плоскость основания, объёмная форма не получится: все точки останутся на одной плоской поверхности.
Каждая сторона основания вместе с двумя отрезками, ведущими от её концов к вершине пирамиды, образует треугольник. Поэтому боковые грани всегда треугольные. У соседних сторон основания есть общая вершина, а отрезки к ней сходятся в одной точке пирамиды — так и получается общая вершина всех боковых граней.
Пусть у основания n вершин, а значит, и n сторон. Для каждой стороны строится одна боковая грань, поэтому боковых граней n; от каждой вершины основания идёт одно боковое ребро, значит, их тоже n. К n вершинам основания добавляется одна вершина пирамиды, всего получается n + 1 вершина. Для подсчёта всех рёбер складывают n сторон основания и n боковых рёбер: всего 2n.
На рисунке многоугольник, вокруг которого расположены треугольники, — основание, а точка, к которой сходятся эти треугольники, — вершина пирамиды. Треугольники между основанием и общей вершиной — боковые грани. Отрезки по краям многоугольника относятся к рёбрам основания, а отрезки от его углов к вершине — к боковым рёбрам. Разделение по расположению помогает не смешать разные элементы.
Пирамиды называют по форме основания. Если основание — треугольник, пирамида треугольная; если четырёхугольник — четырёхугольная; если пятиугольник — пятиугольная. Правильность многоугольника для названия не важна: четырёхугольная пирамида может иметь в основании и квадрат, и другой четырёхугольник. Достаточно посчитать стороны основания, чтобы определить тип пирамиды.
В таблице n обозначает число сторон и вершин многоугольника в основании. Чтобы найти нужное количество, выбери строку с элементом и подставь число n для конкретной пирамиды.
Помни, что основание — тоже грань, а рёбра основания входят в общее число рёбер. Поэтому количество всех рёбер не совпадает с числом боковых рёбер.
| Элемент | Что это такое | Количество для n-угольного основания |
|---|---|---|
| Основание | Многоугольник, от которого строится пирамида | 1 |
| Боковые грани | Треугольники с общей вершиной | n |
| Боковые рёбра | Отрезки от вершины пирамиды к вершинам основания | n |
| Вершины | Вершины основания и вершина пирамиды | n + 1 |
| Рёбра | Стороны основания и боковые рёбра | 2n |
Задача 1. На рисунке изображена пирамида с пятиугольным основанием. Назовите её основание, вершину, боковые грани и боковые рёбра.
Ответ: основание — пятиугольник; вершина — общая вершина боковых граней; боковые грани — пять треугольников; боковые рёбра — пять отрезков от вершины пирамиды к вершинам основания. Названия вершин и граней буквами зависят от обозначений на рисунке.
Задача 2. Сколько граней, рёбер и вершин имеет пирамида, основанием которой является четырёхугольник?
Ответ: у пирамиды 5 граней, 8 рёбер и 5 вершин. При подсчёте важно включить основание в число граней, а рёбра основания — в общее число рёбер.
Задача 3. У пирамиды 18 рёбер. Какой многоугольник лежит в её основании? Сколько у неё боковых граней и вершин?
Ответ: в основании лежит девятиугольник; у пирамиды 9 боковых граней и 10 вершин. Проверка: у основания 9 рёбер и 9 боковых, вместе 18.
Иногда вершиной пирамиды называют любой угол основания. Так происходит потому, что у многоугольника тоже есть вершины. Проверь себя: вершина пирамиды находится вне плоскости основания и к ней сходятся боковые грани, а углы основания лежат на самом многоугольнике.
Можно ошибочно включить основание в число боковых граней. Основание тоже является гранью, но оно многоугольное, а боковые грани — треугольники. Чтобы проверить ответ, отдельно посчитай основание, а затем треугольники вокруг вершины пирамиды.
Число рёбер иногда принимают за число боковых рёбер. Причина в том, что на рисунке боковые рёбра заметны, а стороны основания можно не сразу увидеть. Пересчитай и те и другие: к n боковым рёбрам нужно прибавить n рёбер основания, так что всего будет 2n.
Некоторые думают, что основание пирамиды обязательно квадратное. Возможно, так кажется из-за знакомых изображений, но у основания может быть любой многоугольник. Проверь название фигуры по основанию: треугольное, четырёхугольное, пятиугольное и так далее; равенство сторон не требуется.
Для работы с пирамидами нужно уметь распознавать многоугольники, считать их вершины и стороны, а также знать, что такое грань, ребро и вершина многогранника. Эти знания помогают описывать объёмные фигуры без рисунка. Позже пирамиды будут встречаться при изучении развёрток, площади поверхности и объёма: развёртка показывает грани на плоскости, а площадь и объём описывают размер фигуры. Похожие формы можно заметить в крышах, шатрах, египетских пирамидах и архитектурных сооружениях.
Может ли основание пирамиды быть треугольником?
Да. Тогда пирамида называется треугольной. У неё три боковые грани, а вместе с треугольным основанием — четыре грани.
Почему боковые грани пирамиды всегда треугольники?
Каждую сторону основания соединяют с одной общей вершиной, которая находится вне плоскости основания. Сторона основания и две линии к этой вершине образуют треугольник.
Как быстро посчитать число рёбер пирамиды?
Если в основании n-угольник, у основания n рёбер и ещё n боковых рёбер. Поэтому всего рёбер 2n.
Чем вершина пирамиды отличается от вершины основания?
Вершина пирамиды — общая точка всех боковых граней, расположенная вне плоскости основания. Вершины основания — это углы многоугольника, от которых идут боковые рёбра.
Бывает ли пирамида с некруглым или неправильным основанием?
Основание пирамиды всегда многоугольник, а значит, оно не бывает круглым. Оно может быть неправильным: например, его стороны и углы не обязаны быть равными.
10.4. Пирамида
