Пирамида

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, образованный многоугольником-основанием и точкой вне его плоскости, соединённой с вершинами основания. Если соединить эту точку со всеми вершинами многоугольника, получится объёмное тело. Такое определение помогает понять, из каких частей складывается пирамида.

Основание пирамиды — многоугольник, выбранный в качестве нижней грани. По числу его сторон определяют вид пирамиды: треугольную, четырёхугольную и так далее. Основание нужно для подсчёта числа боковых граней, а также для вычисления площади и объёма.

Вершина пирамиды — точка вне плоскости основания, соединённая с каждой вершиной этого основания. В обозначении четырёхугольной пирамиды SABCD точкой S обычно называют вершину, а ABCD — основание. От положения вершины зависят форма боковых граней и длины рёбер.

Боковая грань, боковое ребро и высота — разные элементы пирамиды. Боковая грань является треугольником, боковое ребро — отрезком от вершины до вершины основания, а высота — перпендикуляром от вершины к плоскости основания. Такое различение нужно, чтобы правильно читать чертёж и выбирать величины в формулах.

Как это устроено

Сначала берут многоугольник и точку, не лежащую в его плоскости. Затем точку соединяют с каждой вершиной многоугольника, и каждый отрезок вместе с одной стороной основания образует треугольник. Эти треугольники становятся боковыми гранями, потому что они расположены сбоку от основания и сходятся в общей вершине.

У каждой стороны основания есть ровно одна боковая грань, построенная на этой стороне и вершине пирамиды. Поэтому если основание имеет n сторон, то боковых граней будет n. Столько же будет боковых рёбер, поскольку каждой вершине основания соответствует один отрезок, соединяющий её с вершиной пирамиды.

Если основание — треугольник, пирамина называется треугольной, если четырёхугольник — четырёхугольной, а при n сторонах — n-угольной. Такое название сразу сообщает, сколько у фигуры боковых граней и рёбер. Например, у пятиугольной пирамиды пять боковых треугольников, хотя само основание треугольником не является.

Высота пирамиды — это отрезок, проведённый из вершины перпендикулярно плоскости основания. Боковое ребро может быть длиннее, короче или равным высоте, но само по себе оно не является высотой без условия перпендикулярности. В правильной пирамиде основание правильное, боковые рёбра равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники; это позволяет применять специальные формулы.

Элементы и основные свойства пирамиды

Сначала по таблице определяют, о каком элементе говорится в условии: о грани, ребре или высоте. Затем выбирают формулу, проверяя, подходит ли она для любой пирамиды или только для правильной. Буквы в формуле нужно соотнести с конкретными отрезками и площадями на чертеже.

Разбор задач

Задача 1

Дана четырёхугольная пирамида SABCD. Назовём её основание, вершину, боковые грани, боковые рёбра и высоту, если она проходит из S в точку O основания.

1. По записи SABCD выделяем многоугольник ABCD: это основание.
2. Точка S находится вне плоскости ABCD и соединена с её вершинами, поэтому S — вершина пирамиды.
3. Со сторонами основания образуются грани SAB, SBC, SCD и SDA.
4. Отрезки SA, SB, SC и SD — боковые рёбра, а SO — высота, потому что по условию она перпендикулярна плоскости основания.

Ответ: основание ABCD; вершина S; боковые грани SAB, SBC, SCD, SDA; боковые рёбра SA, SB, SC, SD; высота SO.

Задача 2

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а апофема боковой грани — 5 см. Найдём площадь боковой поверхности.

1. Основание — квадрат, поэтому его периметр Pосн = 4 · 6 = 24 см.
2. Апофема l равна 5 см и является высотой каждой боковой грани.
3. Для правильной пирамиды применяем формулу Sбок = ½Pоснl.
4. Получаем Sбок = ½ · 24 · 5 = 60 см².

Ответ: площадь боковой поверхности равна 60 см². Использовать эту формулу можно благодаря тому, что пирамида правильная; для произвольной пирамиды площади граней пришлось бы складывать отдельно.

Задача 3

Площадь основания пирамиды равна 24 см², а её высота — 10 см. Требуется найти объём.

1. Записываем формулу объёма пирамиды: V = ⅓Sоснh.
2. Подставляем данные, причём высота должна быть именно перпендикуляром к плоскости основания: V = ⅓ · 24 · 10.
3. Сначала умножаем площадь основания на высоту: 24 · 10 = 240 см³.
4. Делим результат на 3: V = 240 : 3 = 80 см³.

Ответ: объём пирамиды равен 80 см³. Единица измерения получилась кубической, потому что объём описывает занимаемое телом пространство.

Типичные ошибки

Основанием называют любую грань или принимают за него боковой треугольник без учёта условия. Ошибка появляется потому, что все грани являются частями поверхности, но исходный многоугольник задаётся отдельно. Проверьте, какая грань указана в условии и какие грани образованы соединением вершины с основанием.

Боковую грань путают с боковым ребром, а ребро — с высотой. Причина в том, что все эти элементы связаны с вершиной пирамиды, но грань имеет площадь, ребро является отрезком, а высота определяется перпендикулярностью. Для проверки назовите, это треугольная область или только её сторона, и образует ли отрезок прямой угол с плоскостью основания.

В формулу объёма подставляют длину бокового ребра вместо высоты. Так делают, если на чертеже ребро кажется «вертикальным», хотя вид рисунка не доказывает перпендикулярность. Проверьте условие: нужный отрезок должен идти от вершины к плоскости основания под прямым углом.

Площадь боковой поверхности находят сложением длин рёбер или применяют формулу правильной пирамиды к любой пирамиде. Площадь складывают только у граней, а формула ½Pоснl требует правильности пирамиды и апофемы. Если эти условия не указаны, найдите площадь каждого бокового треугольника отдельно и сложите результаты.

Связь с другими темами

До изучения пирамиды понадобятся многоугольники и треугольники, формулы площадей плоских фигур, понятие перпендикуляра к плоскости и теорема Пифагора. Эти знания помогают находить площадь основания, апофему и высоту. Без них трудно перейти от чертежа к вычислениям.

Пирамида связана с призмами, усечёнными пирамидами и общими формулами площадей поверхностей многогранников. Умение считать её грани и рёбра пригодится при изучении других пространственных тел. Формула объёма пирамиды станет основой для дальнейших задач на объёмы.

Высота пирамиды соединяет стереометрию с прямоугольными треугольниками. В таком треугольнике можно применять теорему Пифагора, если известны подходящие отрезки. Поэтому пространственный чертёж часто сводится к уже знакомым плоским фигурам.

Что запомнить

• Пирамида состоит из многоугольника-основания и вершины вне его плоскости.
• Число боковых граней пирамиды равно числу сторон её основания.
• Боковые грани пирамиды являются треугольниками.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
• Правильная пирамида имеет правильное основание, а её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
• Площадь полной поверхности равна сумме площадей основания и боковой поверхности.