"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Обратные задачи связаны с одной и той же ситуацией, величинами и числовым результатом. В исходной, или прямой, задаче находят результат по известным данным, а в обратной — одну из исходных величин по результату и другой величине. Умение составлять и решать такие задачи помогает выбирать действие по смыслу, видеть зависимость между величинами и проверять правильность решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая задача — задача, в которой по известным данным находят величину, указанную в вопросе. Например, известны цена и количество тетрадей, а найти нужно их общую стоимость. Такое определение помогает увидеть, какие данные уже есть, а что требуется вычислить.
Обратная задача — задача, составленная из исходной заменой искомой величины на известную, а одной из известных величин — на искомую. Сюжет при этом сохраняется: речь идёт о тех же предметах или событиях. Это нужно, чтобы новая задача действительно была связана с исходной, а не просто имела похожий вопрос.
Взаимно обратные задачи — исходная и составленные из неё задачи, связанные одними величинами и общим числовым результатом. В одной задаче результат находят, а в другой используют его для восстановления исходного значения. Такое сочетание позволяет проверить, верно ли решена первая задача.
Связь величин — зависимость между данными задачи, которая определяет выбор действия или формулы. Например, общую стоимость находят умножением цены на количество, а цену — делением стоимости на количество. Если понять эту связь, действие выбирается по смыслу, а не наугад.
Сначала в условии нужно выделить величины и определить, какие из них известны, а какая неизвестна. Для этого полезно спросить себя: что уже дано в тексте и на какой вопрос требуется ответить? Например, в задаче о коробках известны общее количество яблок и число коробок, а неизвестна масса яблок в одной коробке.
При составлении обратной задачи сохраняют сюжет и связь величин, потому что именно они описывают одну и ту же ситуацию. Если известны цена одного предмета и их количество, то результатом будет общая стоимость; в обратной задаче общая стоимость уже известна. Меняется вопрос и одновременно одна из прежних известных величин, иначе зависимости между данными не получится.
Для одной прямой задачи обычно можно составить две обратные, если в ней участвуют две исходные величины. В первой обратной задаче результат и первая исходная величина известны, а вторую нужно найти. Во второй результат и вторая исходная величина известны, а неизвестной становится первая.
При переходе к обратной задаче часто меняется и арифметическое действие. Умножению соответствует деление, сложению — вычитание, а вычитанию и делению нужно подбирать обратное действие с учётом смысла величин. Поэтому нельзя выбирать действие только по расположению чисел: сначала нужно понять, что означает каждое число.
Решение обратной задачи служит проверкой исходной. Если после решения прямой задачи подставить найденный результат в обратную и получить известное исходное значение, связь восстановлена правильно. Несовпадение показывает, что нужно проверить вычисления, условие или выбранное действие.
| Вид задачи | Что известно | Что нужно найти | Основное действие | Связь с исходной задачей |
|---|---|---|---|---|
| Прямая задача | Два исходных значения | Результат их взаимодействия | Умножение, сложение или другое действие по условию | Исходная задача |
| Первая обратная задача | Результат и одна исходная величина | Другая исходная величина | Деление, вычитание или обратное действие | Проверяет прямую задачу |
| Вторая обратная задача | Результат и другая исходная величина | Первая исходная величина | Обратное действие | Также связана с исходной задачей |
Пользуйтесь таблицей так: сначала определите, какая величина является результатом, а какие две величины его образуют. Затем найдите строку, соответствующую виду задачи, и проверьте, какое действие связывает известные данные с искомым.
Если задача составная, такую схему применяют к каждому шагу отдельно. При этом результат одного действия может стать исходной величиной для следующего шага.
В 5 одинаковых коробках 40 кг яблок. Нужно узнать, сколько килограммов яблок находится в одной коробке. Это обратная задача к задаче на нахождение общего количества, потому что известны общий результат и число одинаковых частей.
Ответ: 8 кг яблок в одной коробке.
Одна тетрадь стоит 18 рублей, а купить нужно 7 таких тетрадей. Сначала это прямая задача: по цене одной тетради и количеству находят общую стоимость. Затем составим обратную задачу, где общая стоимость будет известна, а цену одной тетради нужно будет найти.
Ответ: 7 тетрадей стоят 126 рублей; обратная задача даёт цену 18 рублей за тетрадь.
За 4 одинаковых набора заплатили 360 рублей, в каждом наборе 6 предметов. Требуется найти стоимость одного предмета. Здесь две последовательные связи: сначала общая стоимость связана с числом наборов, затем стоимость набора — с числом предметов.
Ответ: один предмет стоит 15 рублей; в обратной задаче получилось 4 набора.
Иногда обратной называют любую задачу с другим вопросом. Это ошибка, потому что в обратной задаче должны сохраняться те же величины и их зависимость. Проверьте, можно ли связать новую задачу с исходной одним сюжетом и общим результатом.
Бывает, что ученик меняет вопрос, но оставляет все известные данные прежними. Тогда неизвестная величина не заменяет исходную известную, и задача не становится обратной. Сравните список «дано» в обеих задачах и убедитесь, что одна величина действительно поменяла роль.
Действие иногда выбирают по внешнему виду чисел: например, складывают их только потому, что они стоят рядом. Такая стратегия не учитывает смысл связи между величинами и приводит к неверному ответу. Назовите словами, что означает каждое число, и только потом выбирайте действие.
Ещё одна ошибка — не проверять решение обратной задачей. Из-за этого незамеченными остаются ошибки в вычислениях или в понимании условия. Выполните обратное действие и посмотрите, возвращается ли исходное известное значение.
До изучения обратных задач нужно уметь называть компоненты действий, понимать смысл умножения и деления, а также выделять известные и неизвестные величины в условии. Эти навыки помогают переводить текст задачи в понятную схему.
Тема пригодится при проверке решений текстовых задач и составлении собственных задач по данным. Она учит видеть, как изменение одной величины влияет на другую, а не просто выполнять вычисления по образцу.
Обратные задачи связаны с составными задачами, уравнениями и зависимостями между величинами. В уравнении неизвестное также находят, используя связь между известными значениями, а в составной задаче приходится восстанавливать несколько таких связей подряд.
Чем обратная задача отличается от задачи с другим вопросом?
В обратной задаче сохраняются сюжет, величины и связь между ними. Одну из известных величин исходной задачи заменяют искомой, поэтому меняется не только вопрос.
Сколько обратных задач можно составить к одной прямой?
Обычно к задаче с двумя исходными величинами можно составить две обратные. В каждой из них неизвестной делают одну из исходных величин.
Почему в обратной задаче меняется не только вопрос?
Если изменить только вопрос, известные данные останутся прежними и задача не станет обратной. Нужно заменить искомую величину на известную, а одну из прежних известных величин сделать искомой.
Как понять, какое действие выбрать при решении обратной задачи?
Сначала определите, как связаны величины по смыслу. Затем выберите действие, которое восстанавливает неизвестную величину: например, деление вместо умножения или вычитание вместо сложения.
Можно ли проверить решение любой текстовой задачи с помощью обратной?
Во многих задачах можно составить обратную и использовать её как проверку. Но это возможно только тогда, когда сохраняются смысловые связи и можно корректно найти заменённую величину.
Обратные задачи
