"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Обратная задача составляется из исходной так, чтобы известное и неизвестное поменялись ролями, а результат исходной задачи стал известным данным. Составляя такую задачу, нужно сохранить связь между величинами и изменить вопрос. Обратные задачи помогают проверять вычисления и лучше понимать, почему для решения выбирают сложение, вычитание, умножение или деление. К одной исходной задаче иногда можно составить несколько обратных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Исходная задача — задача, в которой по известным данным находят неизвестную величину. Например, известны число карандашей и количество добавленных карандашей, а найти нужно итоговое число. Это определение помогает сначала понять, что дано, а что требуется узнать.
Обратная задача — задача, составленная из исходной: известное и неизвестное меняются местами, а найденный результат становится известным данным. Если сначала находили сумму, то в обратной задаче по сумме и одному слагаемому находят другое. Такое преобразование позволяет увидеть ту же связь между величинами с другой стороны.
Пара обратных задач — две задачи, в которых условие и вопрос связаны так, что ответ одной используется для решения другой. В первой задаче получают новое число, а во второй применяют его как данное. Понятие пары нужно, чтобы не путать обратную задачу с любой задачей на похожие вычисления.
Проверка обратной задачей — способ убедиться в правильности решения исходной задачи, решив составленную к ней обратную задачу. Если обратным действием получают прежнее известное значение, вычисление подтверждается. Но проверять нужно и правильность составления самой обратной задачи.
Сначала в условии выделяют известные величины, неизвестную величину и связь между ними. Например, слова «было», «добавили» и «стало» подсказывают связь между начальным количеством, изменением и результатом. Это нужно для выбора действия: нельзя надёжно решить задачу, пока не ясно, какую величину требуется найти и как она связана с данными.
Чтобы составить обратную задачу, сначала решают исходную и получают её результат. Затем этот результат записывают в новое условие как известное число, а одну из прежних известных величин делают неизвестной. Так новая задача действительно использует сведения исходной, а не просто содержит переставленные числа.
Связь между величинами сохраняют потому, что обратная задача описывает ту же ситуацию. Если общее количество складывается из двух частей, то при восстановлении части используют вычитание; если стоимость равна цене, умноженной на количество, то неизвестную цену или количество находят делением. Поэтому вместе с данными обязательно меняют и вопрос.
После составления обратной задачи её решают обычным способом: выделяют данные, выбирают действие, выполняют вычисления и записывают ответ. Полученное значение сравнивают с тем числом, которое было известно в исходной задаче. Совпадение показывает, что исходное решение согласуется с обратной зависимостью.
Обратная задача проверяет не только вычисления, но и понимание связи между величинами. Если её составили с ошибкой, совпадение или несовпадение ответов не имеет надёжного смысла. Поэтому перед проверкой нужно убедиться, что результат исходной задачи включён в условие, новое неизвестное выбрано правильно, а смысл ситуации не изменён.
| Что сравниваем | Исходная задача | Обратная задача |
|---|---|---|
| Какие величины известны | Данные условия, заданные в начале | Результат исходной и оставшиеся данные |
| Какая величина неизвестна | Величина, которую требуется найти | Одна из прежних известных величин |
| Как связаны данные и вопрос | Связь приводит к искомой величине | Та же связь используется в обратном направлении |
| Как используется ответ | Ответ сообщает найденное значение | Ответ возвращает одно из данных исходной задачи |
Сначала найдите в таблице, какая величина была неизвестной в исходной задаче. Затем проверьте, стала ли она известной в обратной, а другое данное — неизвестным. Последняя строка помогает понять, какое значение должно получиться при проверке.
В коробке было 18 карандашей, затем положили ещё 7. В исходной задаче неизвестно общее количество, поэтому нужно объединить две части сложением. Найденную сумму используем в обратной задаче, чтобы восстановить первоначальное количество.
Ответ: сначала было 18 карандашей; обратная задача подтверждает решение исходной.
За 4 одинаковые тетради заплатили 240 рублей. В исходной задаче неизвестна цена одной тетради, а общая стоимость равна цене одной тетради, умноженной на количество. Обратную задачу составим так, чтобы неизвестным стало число тетрадей.
Ответ: одна тетрадь стоит 60 рублей; обратная задача возвращает исходное количество — 4 тетради.
Турист прошёл 36 км за 4 часа с постоянной скоростью. В исходной задаче найдём скорость, а затем составим две обратные задачи: на расстояние и на время. Здесь используются три связанные величины: расстояние = скорость · время, скорость = расстояние : время, время = расстояние : скорость.
Ответ: скорость равна 9 км/ч, расстояние — 36 км, время — 4 часа. Две обратные задачи подтвердили оба исходных значения.
Меняют местами числа, но оставляют прежний вопрос. Так получается другая запись тех же данных, а неизвестная величина не меняется. Проверьте, стало ли неизвестным одно из прежних известных значений.
Не используют ответ исходной задачи как известное данное. Без этого новая задача не связана с результатом исходной и не может служить её обратной. Найдите в условии обратной задачи число, полученное первым решением.
Изменяют числа или связь между величинами без причины. Тогда описывается уже другая ситуация, даже если слова кажутся похожими. Сверьте данные, единицы измерения и зависимость между величинами с исходной задачей.
Считают совпадение ответа достаточной проверкой. Ошибка в составлении обратной задачи может дать убедительный, но бесполезный результат. Сначала проверьте условие и вопрос, затем сравнивайте полученное число с исходным данным.
До изучения обратных задач нужно уметь выделять условие и вопрос, находить связь между величинами и выполнять сложение, вычитание, умножение и деление. Эти умения помогают не угадывать действие, а объяснять его смысл.
Обратные задачи полезны для проверки текстовых задач и подготовки к изучению зависимостей между величинами. Позже та же идея применяется при составлении математических моделей, когда одну и ту же связь выражают через разные неизвестные.
Как понять, что задача является обратной к данной?
В обратной задаче результат исходной становится известным числом, а одна из прежних известных величин превращается в неизвестную. Связь между величинами сохраняется, но вопрос меняется.
Что в условии обратной задачи нужно изменить?
Нужно изменить вопрос и сделать неизвестной одну из прежних известных величин. Результат исходной задачи следует включить в условие как известное данное.
Можно ли к одной задаче составить несколько обратных?
Да, если в задаче есть несколько величин, которые можно по очереди сделать неизвестными. Например, зная расстояние, скорость и время, можно составить задачи на нахождение любой из этих величин.
Как проверить исходную задачу с помощью обратной?
Сначала решают исходную задачу, затем составляют и решают обратную, используя полученный ответ как известное данное. Если обратная задача возвращает прежнее известное значение, решение подтверждается при условии, что сама обратная задача составлена правильно.
Почему ответ обратной задачи иногда не подтверждает правильность исходного решения?
Обратную задачу могли составить неправильно: изменить связь между величинами, не использовать ответ исходной или оставить прежний вопрос. Поэтому сначала проверяют условие и вопрос обратной задачи, а уже потом сравнивают ответы.
3.50. Обратные задачи
