"Математика", Ткачёва М.В.
Пирамида — многогранник с одним многоугольником-основанием и треугольными боковыми гранями, которые сходятся в общей вершине. По форме основания определяют вид пирамиды и число её боковых граней и рёбер. Чтобы разобраться в устройстве пирамиды, нужно отличать её высоту от бокового ребра и знать, при каких условиях пирамида называется правильной. Эти знания пригодятся при изучении площадей и объёмов геометрических тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пирамида — многогранник, одна грань которого является многоугольником-основанием, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Проще говоря, это фигура, у которой боковые треугольники сходятся в одной точке. Определение помогает отличить пирамиду от других многогранников.
Основание пирамиды — многоугольник, определяющий вид пирамиды и число её боковых граней. Например, если основание — пятиугольник, пирамида называется пятиугольной. По основанию удобно сразу понять, сколько у фигуры боковых граней и рёбер.
Боковая грань — один из треугольников, соединённых общей вершиной пирамиды с двумя соседними вершинами основания. Боковое ребро — отрезок от общей вершины пирамиды к вершине основания, а вершина пирамиды — сама общая точка боковых граней. Эти названия нужны, чтобы точно описывать части фигуры и считать их.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания, и длина этого перпендикуляра. Перпендикуляр означает, что отрезок образует прямой угол с плоскостью основания. Высоту используют, когда сравнивают размеры пирамид и решают задачи о площадях и объёмах.
Чтобы построить пирамиду, сначала выбирают многоугольник для основания, а затем отмечают точку вне плоскости этого многоугольника. Эту точку соединяют отрезками со всеми вершинами основания. Между каждой парой соседних вершин основания и общей точкой получается треугольная боковая грань, поэтому поверхность фигуры замыкается.
У основания с каждой стороной связана одна боковая грань: треугольник «опирается» на эту сторону. Поэтому число боковых граней совпадает с числом сторон основания. У каждой вершины основания есть один отрезок до общей вершины пирамиды, значит, боковых рёбер столько же, сколько вершин основания; у многоугольника число вершин равно числу сторон.
Пирамида отличается от призмы прежде всего устройством оснований. У призмы есть два равных многоугольника-основания, соединённых боковыми гранями, а у пирамиды основание только одно. Вместо второго основания у неё одна вершина, к которой сходятся все боковые грани; поэтому боковые грани пирамиды треугольные.
Название пирамиды зависит от числа сторон её основания, а не от наклона боковых рёбер. Три стороны дают треугольную пирамиду, четыре — четырёхугольную, пять — пятиугольную. Так можно быстро назвать фигуру, даже если её грани на рисунке наклонены по-разному.
Правильной называют пирамиду, у которой в основании лежит правильный многоугольник, то есть многоугольник с равными сторонами и углами, а высота проходит через центр основания. Такое расположение вершины обеспечивает равенство боковых граней. Если хотя бы одно из условий не выполнено, пирамиду нельзя называть правильной.
| Признак | Что нужно указать | Свойство или обозначение |
|---|---|---|
| Основание | Многоугольник, лежащий внизу пирамиды | Число его сторон определяет вид пирамиды |
| Вершина | Точка вне плоскости основания | Общая вершина всех боковых граней |
| Боковые грани | Треугольники с общей вершиной | Их число равно числу сторон основания |
| Боковые рёбра | Отрезки от вершины пирамиды к вершинам основания | Их число равно числу вершин основания |
| Высота | Перпендикуляр из вершины к плоскости основания | Обозначается отрезком и измеряется как его длина |
| Правильная пирамида | Пирамида с правильным многоугольником в основании | Высота проходит через центр основания |
Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить основание, а затем проверить остальные элементы. Для подсчёта боковых граней и рёбер посчитай стороны основания. Чтобы распознать правильную пирамиду, проверь и форму основания, и положение высоты.
В основании пирамиды лежит пятиугольник. Нужно назвать вид пирамиды и определить число боковых граней, боковых рёбер и вершин. Сначала связываем каждый из этих элементов с основанием.
Ответ: пятиугольная пирамида; 5 боковых граней, 5 боковых рёбер и 6 вершин всего (из них 5 — в основании).
В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 6 см, каждое боковое ребро равно 5 см. Чтобы найти сумму длин всех рёбер, не нужно складывать их по одному на рисунке. Разделим рёбра на рёбра основания и боковые рёбра.
Ответ: сумма длин всех рёбер равна 44 см. Разбиение на две группы удобно тем, что рёбра основания и боковые рёбра могут иметь разные длины.
Правильная четырёхугольная пирамида имеет высоту 8 см и квадратное основание со стороной 6 см. Чтобы различить нужные отрезки, обозначим вершину пирамиды S, центр квадрата O, а середину одной из сторон основания M. На рисунке без обозначений ориентируемся не по наклону отрезка, а по тому, чему он перпендикулярен.
Ответ: высота пирамиды — SO, высота боковой грани — SM. Первая перпендикулярна плоскости основания, вторая — стороне основания.
Ошибка: называть основанием любую нижнюю грань, которую так показывает рисунок. Основание выбирают как многоугольник, к которому присоединена общая вершина боковых граней; рисунок может быть повернут или изображён под наклоном. Проверь, что остальные грани сходятся в одной вершине.
Ошибка: считать боковые грани прямоугольниками. Это происходит, если ученик принимает нарисованные наклонные линии за прямые углы или ориентируется только на вид картинки. У пирамиды боковые грани — треугольники, поэтому пересчитай их вершины и убедись, что одна вершина у них общая.
Ошибка: принимать боковое ребро за высоту пирамиды. Ребро соединяет две вершины, а высота должна быть перпендикулярна плоскости основания, поэтому обычно попадает не в вершину основания, а в точку внутри него. Для проверки отметь прямой угол между высотой и плоскостью основания.
Ошибка: считать правильной любую пирамиду, у которой основание выглядит симметричным. Правильность требует одновременно правильного многоугольника в основании и прохождения высоты через его центр. Проверь оба условия: если одно не выполнено, пирамида не является правильной.
Для изучения пирамиды нужно знать многоугольники, вершины и рёбра многогранников, а также понимать, что означает перпендикуляр. Площадь прямоугольного треугольника пригодится при дальнейших вычислениях с её гранями. Позже эти знания помогут находить площадь поверхности и объём пирамиды и призмы, а также разбираться с конусом и другими пространственными телами. Пирамидальную форму можно встретить у крыш, шатров, упаковок и архитектурных сооружений.
Может ли боковая грань пирамиды быть не треугольником?
Нет, каждая боковая грань пирамиды — треугольник. Его вершина совпадает с общей вершиной пирамиды, а противоположная сторона является стороной основания.
Как быстро определить вид пирамиды по рисунку?
Посчитай стороны многоугольника в основании. Если их три, пирамида треугольная; если четыре — четырёхугольная, если пять — пятиугольная.
Почему число боковых граней равно числу сторон основания?
К каждой стороне основания присоединяется ровно один треугольник — боковая грань. Поэтому при подсчёте сторон и боковых граней получается одно и то же число.
Всегда ли высота пирамиды совпадает с боковым ребром?
Нет. Высота перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания. Они совпадут только в особом случае, когда это ребро перпендикулярно основанию.
Чем правильная пирамида отличается от обычной?
У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Поэтому её боковые грани равны. У обычной пирамиды эти условия могут не выполняться.
§ 2. Пирамида
