§ 1. Призма

Определения и обозначения

Призма — многогранник, у которого две равные параллельные грани являются основаниями, а остальные грани — боковыми. Такое определение позволяет отличить призму от других тел. Для распознавания нужно проверить сразу оба признака оснований.

Основания призмы — равные и параллельные многоугольники, расположенные в разных плоскостях. Они могут быть треугольниками, квадратами, пятиугольниками и другими многоугольниками. По форме основания обычно называют саму призму: треугольная, четырёхугольная, n-угольная.

Боковая грань призмы — грань, соединяющая соответствующие стороны оснований. В призме она является параллелограммом. Эти грани образуют боковую поверхность и показывают, как одно основание соединено с другим.

Высота призмы — перпендикулярный отрезок между плоскостями её оснований и его длина. Обозначают высоту обычно буквой h. Высота нужна для вычисления площадей и объёмов, а также не всегда совпадает с боковым ребром.

Как это устроено

Представим два одинаковых многоугольника в параллельных плоскостях. Соединим каждую вершину одного многоугольника с соответствующей вершиной другого. Между соответствующими сторонами появятся плоские четырёхугольники, а вместе все части образуют замкнутый многогранник. Именно поэтому для построения призмы нужны два равных параллельных основания и соединяющие их отрезки.

Рассмотрим одну сторону первого основания и соответствующую ей сторону второго. Их концы соединены двумя боковыми рёбрами, а сами стороны параллельны, потому что основания лежат в параллельных плоскостях. Боковые рёбра также параллельны друг другу в устройстве призмы. Поэтому у боковой грани две пары противоположных сторон параллельны, и она является параллелограммом.

Вершины оснований сопоставляются попарно: каждой вершине одного основания соответствует одна вершина другого. Отрезки между такими вершинами называют боковыми рёбрами. Если соответствующие вершины обозначить A и A₁, B и B₁, то AA₁ и BB₁ — боковые рёбра, а четырёхугольник ABB₁A₁ — боковая грань. Так по вершинам и сторонам оснований можно восстановить всю призму.

В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Если отрезок, соединяющий основания, наклонён и не образует прямого угла с ними, призма называется наклонной. У прямой призмы боковое ребро совпадает с высотой по длине, а у наклонной боковое ребро длиннее перпендикулярной высоты и направлено иначе.

Пусть в основании n сторон. Каждая из n вершин нижнего основания имеет соответствующую вершину верхнего, поэтому вершин 2n. У каждого основания по n рёбер, а боковых рёбер ещё n, всего 3n. Граней две — основания и n боковых, значит, всего n + 2 грани.

Элементы и свойства призмы

В таблице буква n обозначает число сторон одного основания. Сначала найдите n, затем подставьте его в формулы для количества элементов. Свойства помогают проверить, правильно ли вы распознали призму и не пропустили какую-либо грань или ребро.

Разбор задач

Задача 1. Распознаём призму

Условие: две грани многогранника — равные параллельные треугольники, а остальные грани — параллелограммы. Нужно определить, является ли этот многогранник призмой. Проверим признаки по порядку, не ограничиваясь только формой одной грани.

1. У многогранника есть две равные грани, значит, они могут быть основаниями.
2. Эти грани параллельны, поэтому они расположены в подходящих плоскостях.
3. Остальные грани являются параллелограммами и соединяют соответствующие стороны треугольников.
4. Все признаки определения выполнены, следовательно, многогранник является треугольной призмой.

Ответ: да, это треугольная призма. Треугольники — её основания, а три параллелограмма — боковые грани.

Задача 2. Считаем элементы пятиугольной призмы

Условие: основание призмы — пятиугольник. Найдём число вершин, рёбер и граней. Здесь n = 5, поэтому достаточно применить общие зависимости для n-угольной призмы.

1. Вершин будет 2n = 2 · 5 = 10, потому что по пять вершин находится в каждом основании.
2. Рёбер будет 3n = 3 · 5 = 15: десять рёбер принадлежат основаниям, ещё пять являются боковыми.
3. Граней будет n + 2 = 5 + 2 = 7: два основания и пять боковых граней.

Ответ: 10 вершин, 15 рёбер и 7 граней. Проверка по составу граней даёт тот же результат: 2 + 5 = 7.

Задача 3. Площадь боковой поверхности прямой призмы

Условие: основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см, высота призмы равна 10 см. Найдём площадь боковой поверхности. У прямой призмы боковые грани имеют высоты, равные высоте призмы, поэтому их удобно объединить через периметр основания.

1. Находим периметр прямоугольного основания: P = 2 · (4 + 7) = 22 см.
2. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту: Sбок = P · h.
3. Подставляем значения: Sбок = 22 · 10 = 220 см².

Ответ: 220 см². Такой способ подходит потому, что все боковые прямоугольники можно рассматривать как полосы общей высоты, а сумма их ширин равна периметру основания.

Типичные ошибки

Считать призмой любой многогранник с двумя похожими гранями. Похожесть не означает равенство и параллельность, поэтому вывод может быть неверным. Проверьте оба основания: они должны совпадать по форме и размеру и лежать в параллельных плоскостях.

Путать основания с нижней и верхней гранями. На рисунке основания часто изображают снизу и сверху, но это не обязательное условие. Основаниями могут быть любые две равные параллельные грани, поэтому мысленно поверните тело и снова найдите такую пару.

Называть боковое ребро высотой в наклонной призме. Боковое ребро соединяет вершины, а высота должна образовывать прямой угол с плоскостями оснований. Проведите перпендикуляр между основаниями: если он не совпадает с ребром, эти отрезки различны.

Неверно считать рёбра и грани. Часто забывают второе основание или принимают число сторон основания за общее число граней. Для n-угольной призмы отдельно посчитайте 2 основания и n боковых граней, а рёбра разделите на 2n рёбер оснований и n боковых.

Связь с другими темами

Для изучения призмы нужны знания о многоугольниках, параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостях, а также об элементах многогранника. Эти понятия помогают распознавать основания, рёбра и грани. Без них трудно понять, почему боковая грань имеет форму параллелограмма.

Тема связана с параллелепипедом и кубом: это частные виды призмы. Она понадобится при изучении площадей поверхностей и объёмов тел. Формулы призмы позволяют переходить от плоских фигур к пространственным объектам.

Призмы встречаются в задачах о коробках, упаковках, строительных конструкциях и резервуарах. По форме объекта можно выбрать подходящую модель и посчитать материал или вместимость. Поэтому свойства призмы применяются не только в геометрии, но и в практических расчётах.

Что запомнить

• У призмы два равных параллельных основания.
• Боковые грани призмы являются параллелограммами.
• У n-угольной призмы 2n вершин.
• У n-угольной призмы 3n рёбер.
• У n-угольной призмы n + 2 грани.
• Высота призмы перпендикулярна плоскостям оснований.
• В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям.