12.3. Призма

Определения и обозначения

Призма — многогранник, у которого две равные многоугольные грани лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани являются параллелограммами. Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Определение помогает отличить призму от других тел и проверить, подходит ли под него фигура на рисунке.

Основания призмы — две равные параллельные многоугольные грани, вершины которых попарно соединены боковыми рёбрами. Соответствующие вершины — те, которые соединены одним таким отрезком. Понятие оснований нужно, чтобы правильно определить форму призмы и посчитать её элементы.

Боковая грань призмы — параллелограмм, соединяющий соответствующие стороны оснований. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Это название позволяет не путать боковые грани с основаниями и не считать их обязательно прямоугольными.

Боковое ребро призмы — отрезок, соединяющий соответствующие вершины оснований. Рёбра — стороны граней многогранника, а вершины — точки, где сходятся рёбра. Боковые рёбра показывают, как соединены два основания, и помогают увидеть устройство призмы.

Как это устроено

Представь два одинаковых многоугольника, расположенных в параллельных плоскостях. Соедини каждую вершину одного многоугольника с соответствующей вершиной другого отрезком: получатся боковые рёбра, а поверхности между сторонами оснований станут боковыми гранями. В результате основание не меняет форму, а вся фигура становится призмой.

Почему каждая боковая грань — параллелограмм? У неё одна пара противоположных сторон — соответствующие стороны оснований, а они параллельны и равны, поскольку основания равны и расположены в параллельных плоскостях. Другая пара — боковые рёбра, которые также параллельны и равны: они соединяют соответствующие вершины между теми же параллельными плоскостями. Значит, у боковой грани две пары противоположных параллельных сторон, а это признак параллелограмма.

На рисунке сначала найди две равные грани в параллельных плоскостях — это основания. Они не обязательно находятся вверху и внизу: призму можно повернуть, поэтому основания могут выглядеть как две боковые грани. Оставшиеся грани должны соединять соответствующие стороны оснований и быть параллелограммами; рёбра, соединяющие вершины оснований, будут боковыми.

Пусть основание имеет n сторон. В каждом из двух оснований по n вершин, поэтому всего вершин 2n; рёбер в основаниях тоже 2n, а боковых рёбер ещё n, всего 3n. Каждой стороне одного основания соответствует одна боковая грань, значит, боковых граней n. Вместе с двумя основаниями получаем n + 2 грани.

Призму называют по форме её основания. Если основания — треугольники, перед нами треугольная призма; если четырёхугольники — четырёхугольная. Такое название сообщает, какой многоугольник образует основание, но само по себе не говорит о размерах призмы.

Элементы призмы с n-угольным основанием

Чтобы пользоваться таблицей, сначала посчитай стороны основания и обозначь их число буквой n. Затем подставь n в нужное правило: например, для пяти сторон вершин будет 2 · 5 = 10. В последнем столбце показан пример, когда основание — треугольник и n = 3.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке многогранника две равные параллельные грани — треугольники, а остальные грани — параллелограммы. Определите, что это за многогранник и назовите его основания.

1. Проверяем, есть ли две равные грани в параллельных плоскостях: по условию они есть.
2. Проверяем остальные грани: они параллелограммы, значит, признаки призмы выполнены.
3. Основаниями называем два треугольника. По форме оснований определяем название: призма треугольная.

Ответ: треугольная призма; её основания — два равных треугольника. Чтобы не перепутать грани, мы сначала проверили условия определения, а затем назвали основание по его форме.

Задача 2. У призмы основание — пятиугольник. Сколько у неё вершин, рёбер и граней?

1. У пятиугольника пять сторон, поэтому n = 5.
2. Число вершин равно 2n: 2 · 5 = 10. Рёбер будет 3n: 3 · 5 = 15.
3. Число всех граней равно n + 2: 5 + 2 = 7.

Ответ: 10 вершин, 15 рёбер и 7 граней. Проверить подсчёт граней можно отдельно: пять боковых граней и два основания дают семь.

Задача 3. У призмы 18 рёбер. Определите, сколько у неё вершин и граней и какой многоугольник лежит в основании.

1. Для призмы число рёбер равно 3n. Поэтому составляем равенство 3n = 18 и делим 18 на 3: n = 6.
2. Шесть сторон у основания означает, что основание — шестиугольник; призма называется шестиугольной.
3. Находим остальные элементы: вершин 2 · 6 = 12, граней 6 + 2 = 8.

Ответ: в основании лежит шестиугольник, у призмы 12 вершин и 8 граней. Сначала по числу рёбер нашли n, а затем применили правила для вершин и граней.

Типичные ошибки

Ошибка — принять за основания любые две грани, например две одинаково выглядящие боковые грани. Основания должны быть равными многоугольниками и лежать в параллельных плоскостях, поэтому одной похожей формы недостаточно. Так ошибаются, когда выбирают грани только по положению на рисунке. Проверь, что они параллельны и равны, а остальные грани соединяют их стороны.

Иногда боковые грани называют прямоугольниками. Так происходит потому, что на рисунках призмы часто изображают с прямыми углами или прямоугольными боковыми гранями. Однако по определению боковые грани — параллелограммы, и угол между их сторонами не обязан быть прямым. Проверь себя: если в условии не сказано о прямых углах, не уточняй вид грани сверх того, что известно.

При подсчёте можно учесть вершины или рёбра только одного основания. Это случается, если забыть, что оснований у призмы два, а боковые рёбра тоже входят в общий счёт. Для проверки запиши отдельно элементы оснований и боковые: вершин 2n, рёбер 2n + n. Если ответ меньше этих сумм, пересчитай.

Ещё одна ошибка — считать, что граней n, потому что n сторон у основания. Но n — это только количество боковых граней; к ним нужно добавить два основания. Проверка проста: по одному основанию с каждой стороны, значит, всего n + 2. Например, у треугольной призмы три боковые грани и два основания, всего пять.

Связь с другими темами

Для работы с призмой нужны понятия многоугольника, его вершин и сторон, а также параллельных прямых. Без них трудно определить, какие грани равны и как устроены основания. Эти знания помогают проверить, соответствует ли многогранник определению призмы.

Параллелограмм — знакомая фигура, свойства которой объясняют форму боковых граней. Если распознавать параллельные стороны, можно понять, почему соединительные четырёхугольники являются параллелограммами. Это также помогает отличить призму от фигуры с произвольными боковыми гранями.

Призмы понадобятся при изучении площади поверхности и объёма многогранников. Понимание оснований, боковых граней и рёбер помогает представить, какие части тела нужно измерять или складывать. Правила подсчёта элементов пригодятся и при описании более сложных геометрических тел.

Что запомнить

• У призмы два равных параллельных основания.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• Призму называют по форме её основания.
• Если в основании n-угольник, у призмы 2n вершин.
• У призмы с n-угольным основанием 3n рёбер.
• У такой призмы n + 2 грани.