"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Развёртка — это плоское изображение поверхности многогранника: его грани разрезают по некоторым рёбрам и раскладывают, не меняя их формы и размеров. По ней можно понять, из каких частей состоит поверхность, представить сборку объёмной фигуры и вычислить её площадь. Развёртка должна содержать все грани и складываться так, чтобы они не накладывались друг на друга. Одну и ту же фигуру часто можно разложить на плоскости несколькими способами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Развёртка многогранника — плоская фигура из его граней, полученная разрезанием по рёбрам и раскладыванием граней без изменения их формы и размеров. Представь, что ты разрезал коробку по нескольким рёбрам и разложил её на столе. Развёртка помогает увидеть все части поверхности и подготовить бумажную модель.
Грань — многоугольник, который является плоской частью поверхности многогранника. Например, у куба грани — квадраты, а у прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. В развёртке каждая грань показана отдельно, поэтому можно проверить, сколько их и как они соединены.
Поверхность многогранника — совокупность всех его граней. Чтобы найти площадь поверхности, нужно сложить площади всех граней. Это понятие полезно, когда надо узнать, сколько материала потребуется, чтобы обернуть коробку или сделать модель.
Развёртка прямоугольного параллелепипеда — расположение шести прямоугольников, которые при сгибании по общим сторонам образуют параллелепипед. Размеры прямоугольников должны совпадать с размерами его граней. По такой развёртке можно представить форму коробки и найти площадь её поверхности.
Чтобы получить развёртку, многогранник разрезают по некоторым рёбрам и раскрывают его грани. Часть рёбер оставляют неразрезанными: они связывают грани между собой, поэтому плоская фигура не распадается на отдельные куски. Если разрезать все рёбра, грани разъединятся, и цельной развёртки не получится.
При раскладывании грани не растягивают и не сплющивают, потому что разрез проходит по рёбрам, а не через середину грани. Поэтому квадрат остаётся квадратом, а прямоугольник — прямоугольником с теми же сторонами. Рёбра, которые соединяли грани до разрезания, в плоском виде становятся общими сторонами соответствующих фигур.
Чтобы из плоской фигуры снова получился многогранник, грани должны быть соединены так, чтобы их можно было согнуть в нужных местах. При сгибании они должны закрыть всю поверхность: не оставлять отверстий и не занимать одно и то же место. Поэтому одного нужного количества многоугольников недостаточно — надо проверить, как именно они расположены.
Один многогранник можно разрезать по рёбрам разными способами и разложить его грани в разных направлениях. Так получаются разные плоские фигуры, хотя набор граней остаётся прежним. Например, квадраты куба можно расположить цепочкой или присоединить часть квадратов по разным сторонам; подходящий вариант после сгибания всё равно соберётся в куб.
Площадь поверхности находят по развёртке, потому что на ней видны все грани. Сначала вычисляют площадь каждого многоугольника, а затем складывают результаты. Если грани равны, можно посчитать площадь одной из них и умножить на количество таких граней: так меньше вычислений и проще не пропустить ни одну часть.
| Характеристика | Куб | Прямоугольный параллелепипед |
|---|---|---|
| Количество граней | 6 | 6 |
| Форма граней | Квадраты | Прямоугольники |
| Количество пар равных граней | 3 пары | 3 пары |
| Количество рёбер | 12 | 12 |
| Площадь одной грани или пары равных граней | Одна грань: a²; пара: 2a² | Пары: 2ab, 2ac и 2bc |
| Формула площади поверхности | S = 6a² | S = 2(ab + ac + bc) |
| Что должно быть видно в развёртке | Шесть квадратов, соединённых сторонами так, чтобы они складывались в куб | Шесть прямоугольников трёх размеров, соединённых сторонами так, чтобы они складывались в параллелепипед |
В таблице a обозначает ребро куба, а a, b и c — три измерения прямоугольного параллелепипеда. Чтобы пользоваться формулами, найди площади граней и учти, что каждая из трёх разновидностей встречается дважды. Проверяй также саму развёртку: таблица описывает число и форму граней, но не каждое расположение этих граней подходит для сборки.
Из шести одинаковых квадратов составлены несколько плоских фигур. Нужно определить, какие из них являются развёртками куба. Поскольку конкретные расположения квадратов не заданы, назвать номера фигур нельзя, но можно проверить каждую из них одним и тем же способом.
Если все условия выполнены, фигура является развёрткой куба. Если при сгибании грани накладываются или какое-то место остаётся пустым, это не развёртка. Ответ: развёртками являются те из предложенных фигур, которые проходят проверку сгибанием без наложений.
Прямоугольный параллелепипед имеет размеры 3 см, 4 см и 5 см. По развёртке нужно найти площадь его поверхности. В ней шесть прямоугольников: по два с размерами 3 × 4, 3 × 5 и 4 × 5 см.
Ответ: площадь поверхности равна 94 см². Такой способ удобен потому, что вместо шести отдельных вычислений достаточно найти площади трёх разных прямоугольников и удвоить их.
По развёртке прямоугольного параллелепипеда нужно определить противоположные грани и найти площадь поверхности. Для точного указания расположения каждой грани нужна сама схема, но правило поиска одинаково для любой развёртки. Сначала проследи, как каждая грань поворачивается при сгибании вокруг общей стороны.
Ответ: противоположными будут три пары равных прямоугольников, а площадь поверхности при размерах 3 см, 4 см и 5 см равна 94 см². На конкретной развёртке пары определяют именно сгибанием: одинаковые размеры помогают проверить ответ, но не заменяют прослеживание расположения граней.
Ошибка — считать развёрткой любой набор из шести многоугольников. Можно допустить её, если проверять только количество граней, но при сгибании некоторые из них могут наложиться или оставить пустое место. Мысленно собери фигуру и проверь, что каждая грань занимает отдельную часть поверхности.
Ошибка — менять форму или размеры граней при переходе к развёртке. Иногда кажется, что плоскую фигуру можно немного растянуть, чтобы удобнее разложить, однако разрезание по рёбрам не меняет самих граней. Для проверки сравни стороны каждой фигуры с соответствующими рёбрами исходного многогранника.
Ошибка — сложить площади только тех граней, которые видны на рисунке многогранника. Невидимые грани тоже входят в поверхность, поэтому такой ответ получается меньше правильного. Пересчитай все грани по развёртке или объедини их в пары равных граней.
Ошибка — принять площадь одной грани за площадь всей поверхности. Ещё один похожий промах — сложить площади лишь нескольких граней, не проверив их количество. Перед вычислениями запиши, сколько граней каждого вида есть у фигуры, а в конце убедись, что учтены все шесть граней.
Для работы с развёртками нужно знать, что такое многогранник, грань и ребро, а также уметь находить площадь квадрата и прямоугольника. Эти знания помогают проверить размеры частей развёртки и вычислить площадь всей поверхности. Развёртки пригодятся для расчёта материала на коробки и упаковки, а позже помогут представлять пространственные фигуры, находить их объёмы и создавать модели из бумаги.
Как понять, что плоская фигура является развёрткой многогранника?
Проверь, что в фигуре есть все грани нужного многогранника, соединённые сторонами, а их формы и размеры подходят. Затем мысленно согни её по общим сторонам: грани должны закрыть поверхность без наложений и пустых мест.
Почему у одного куба может быть несколько разных развёрток?
При разрезании рёбер куба можно по-разному раскладывать его шесть квадратных граней. Если каждый вариант при сгибании собирается в куб без наложений, это отдельная развёртка.
Можно ли считать развёрткой фигуру, в которой грани соприкасаются только вершинами?
Нет, соприкосновения только в вершине недостаточно: грани должны быть соединены общими сторонами. Именно по этим сторонам развёртку сгибают, чтобы собрать многогранник.
Как по развёртке найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда?
Найди площадь каждого прямоугольника и сложи площади всех шести граней. Удобнее объединить грани в три пары равных: для размеров a, b и c получаем S = 2(ab + ac + bc).
Какие грани развёртки окажутся противоположными после сборки?
Согни развёртку мысленно или по бумажной модели и проследи, где окажется каждая грань. У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны: это пары прямоугольников с одинаковыми размерами.
42. Развёртки
