"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Развёртка — это плоская фигура, из которой можно сложить поверхность объёмного тела. Она помогает представить, как расположены грани куба или прямоугольного параллелепипеда, и понять, какие части соединятся при сгибании. Чтобы проверить развёртку, нужно мысленно или на бумаге сложить её по линиям сгиба: грани должны закрыть все стороны тела, не накладываясь друг на друга и не оставляя промежутков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Развёртка — плоская фигура, из которой сгибанием можно получить поверхность объёмного тела. Иначе говоря, это грани тела, соединённые по некоторым рёбрам и разложенные на плоскости. Развёртка нужна, чтобы заранее увидеть форму и расположение граней, а также изготовить модель из бумаги.
Грань — плоская сторона объёмного тела. Например, у куба каждая из шести сторон является квадратной гранью, а у прямоугольного параллелепипеда грани имеют форму прямоугольников. Это понятие помогает посчитать части развёртки: у этих тел для каждой грани нужна отдельная плоская фигура.
Ребро — отрезок, по которому встречаются две грани объёмного тела. На развёртке общие рёбра обычно становятся линиями сгиба: по ним одну грань поднимают относительно другой. Понимание того, какие грани соединяет каждое ребро, помогает проверить, правильно ли сложится модель.
Чтобы получить развёртку, поверхность тела мысленно разрезают по некоторым рёбрам и раскладывают грани на плоскости. Часть рёбер при этом остаётся общей для двух соседних граней: именно вдоль них удобно сгибать бумагу. Если разрезать все рёбра, грани окажутся отдельными и собрать из них целое тело без дополнительных соединений будет трудно.
При складывании грани поворачиваются вокруг линий сгиба, как створки вокруг петли. Поэтому расположение квадратов и прямоугольников имеет значение: соседние на развёртке грани должны встретиться по подходящим рёбрам. Если две грани окажутся направлены в одну и ту же сторону, они могут наложиться, а другая сторона тела останется открытой.
У куба шесть граней, и в развёртке каждая из них изображается квадратом одинакового размера. Но просто соединить шесть квадратов недостаточно: нужно расположить их так, чтобы при сгибании они закрыли все шесть сторон куба. Например, четыре квадрата можно поставить в ряд, а ещё два присоединить с разных сторон одного из квадратов ряда; такую фигуру можно сложить в куб.
У прямоугольного параллелепипеда тоже шесть граней, но они не обязательно одинаковы. Противоположные грани попарно равны: две имеют размеры длины и ширины, две — длины и высоты, ещё две — ширины и высоты. Поэтому при проверке такой развёртки нужно следить не только за соединением, но и за тем, чтобы размеры соседних прямоугольников соответствовали рёбрам тела.
Проверить фигуру можно мысленно или с помощью бумажной модели. Обозначь линии соединения как сгибы и постепенно поднимай грани, начиная с одной из них. Если грани закрывают тело без промежутков и не накладываются, фигура подходит; если две части пытаются занять одно место, расположение нужно изменить.
| Тело | Грани | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Куб | 6 одинаковых квадратов | Квадраты должны закрыть шесть разных сторон |
| Прямоугольный параллелепипед | 6 прямоугольников, попарно равных | Размеры прямоугольников должны подходить к рёбрам тела |
Сначала найди в таблице нужное тело и посчитай, сколько фигур должно быть в его развёртке. Затем сверь форму и размеры граней. После этого всё равно проверь сгибанием: таблица описывает грани, но не показывает их расположение.
Задача. Из шести одинаковых квадратов составили фигуру: четыре квадрата расположили в один ряд, а пятый и шестой прикрепили к разным сторонам второго квадрата ряда. Можно ли сложить из этой фигуры куб? Нужно выяснить не только количество квадратов, но и то, займут ли они разные стороны куба.
Шаг 1. Проверяем число и форму частей. У куба шесть граней, и каждая грань — квадрат, поэтому шесть одинаковых квадратов подходят по количеству и форме. Однако это ещё не доказывает, что получилась развёртка: при неудачном расположении грани могут накладываться.
Шаг 2. Принимаем второй квадрат ряда за нижнюю грань и мысленно поднимаем четыре квадрата, расположенные полосой. Первый и третий квадраты образуют боковые стороны, а крайний квадрат ряда после сгибания закрывает ещё одну сторону. Все четыре квадрата полосы при этом становятся разными гранями куба.
Шаг 3. Поднимаем два квадрата, присоединённые к разным сторонам второго квадрата. Они закрывают две стороны, оставшиеся свободными. Эти грани не занимают уже закрытые места, поэтому квадратам удаётся образовать все шесть сторон куба.
Ответ: да, из этой фигуры можно сложить куб. При проверке мы использовали два условия: граней должно быть шесть, а после сгибания каждая грань должна занять отдельную сторону тела. Такой порядок рассуждений помогает не принять за развёртку любую фигуру из шести квадратов.
Ошибка: считать любую фигуру из шести квадратов развёрткой куба. Так думают, потому что у куба действительно шесть граней, но важна и их расстановка. Проверь фигуру мысленным сгибанием: если два квадрата накладываются или сторона остаётся открытой, такая развёртка не подходит.
Ошибка: забывать, что у прямоугольного параллелепипеда грани могут иметь разные размеры. Это случается, когда смотрят только на количество частей и не сверяют их стороны. Сравни размеры прямоугольников попарно: противоположные грани должны быть равны, а их стороны — соответствовать рёбрам тела.
Ошибка: путать линии сгиба с краями готового тела. На плоской фигуре линии соединения заметны так же, как внешние границы, поэтому их легко принять за одно и то же. Проверь, какие линии после складывания станут рёбрами между соседними гранями, а какие края встретятся при закрытии тела.
Развёртки связывают плоские фигуры с объёмными телами: квадраты и прямоугольники на листе превращаются в грани куба или прямоугольного параллелепипеда. Для работы с ними нужны знания о многоугольниках, отрезках и измерении длины сторон. Развёртки также помогают понять, как устроены модели и упаковки: по плоской заготовке можно представить будущую коробку и проверить, совпадут ли её стороны.
4. Развертки
