НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ: ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Определения и обозначения

Точка обозначает точное положение и не имеет размеров. На чертеже её изображают маленьким следом карандаша и называют заглавной латинской буквой: A, B, O. Точки нужны, чтобы отмечать места и задавать границы других геометрических объектов.

Прямая — линия, которая бесконечно продолжается в обе стороны. Её обозначают строчной буквой или двумя заглавными буквами любых двух точек, лежащих на ней: прямая a или прямая AB. Прямая помогает соединять точки и задавать направление.

Отрезок — часть прямой между двумя точками вместе с этими точками. Точки называют концами отрезка, а расстояние между ними — его длиной; отрезок обозначают двумя буквами концов, например AB. В отличие от прямой, его длину можно измерить.

Луч имеет начало и бесконечно продолжается в одном направлении. Его обозначают двумя буквами: первой записывают начало, второй — любую другую точку луча, например луч OA. Луч нужен, когда требуется показать направление движения или продолжение линии только в одну сторону.

Как это устроено

Точку на чертеже отмечают там, где должно находиться нужное положение, и подписывают рядом буквой. Если выбраны две различные точки A и B, через них можно провести линию. Все прямые, проходящие через A и B, должны совпасть на всём участке между этими точками, поэтому отдельной второй прямой быть не может.

Чтобы получить отрезок, на прямой выбирают две точки и рассматривают только часть между ними. Чтобы получить луч, выбирают начальную точку и направление, а затем мысленно продолжают линию без конца. Поэтому прямая не ограничена ни с одной стороны, отрезок ограничен с двух сторон, а луч — только с одной.

Длину отрезка измеряют линейкой: её нулевую отметку совмещают с одним концом, после чего смотрят, у какой отметки находится второй конец. Число показывает длину только вместе с единицей измерения. Один и тот же отрезок может иметь длину 5 см или 50 мм, потому что сантиметр и миллиметр имеют разный размер.

Отрезки сравнивают по длине: тот, у которого расстояние между концами больше, считается более длинным. Если части лежат на одной прямой последовательно, без пропусков и перекрытий, длина целого отрезка равна сумме длин частей. Например, если AB = 3 см, а BC = 2 см, то AC = 3 + 2 = 5 см.

Геометрическую задачу строят по её условию. Сначала отмечают названные точки, затем проводят нужную прямую или луч и только после этого откладывают отрезок заданной длины. Такой порядок помогает не перепутать начало, направление и границы построения.

Сравнение простейших геометрических объектов

Таблица помогает быстро увидеть различия между прямой, отрезком и лучом. При чтении сначала найдите, есть ли у объекта конечные точки, затем посмотрите, в каких направлениях он продолжается. В последнем столбце указаны основные способы обозначения.

Разбор задач

Задача 1

Условие: отметьте точки A и B и проведите через них прямую. Назовите её двумя способами. Нужно не просто соединить точки, а продолжить линию за них в обе стороны, потому что требуется именно прямая.

1. Поставьте на листе две разные точки и подпишите их A и B.
2. Приложите линейку так, чтобы её край проходил через обе точки.
3. Проведите линию в обе стороны дальше точек.
4. Назовите полученную прямую строчной буквой, например a, и по двум точкам — прямой AB.

Ответ: прямая a, или прямая AB. Эти названия относятся к одной и той же прямой.

Задача 2

Условие: измерьте отрезок AB линейкой и запишите его длину в сантиметрах и миллиметрах. Главная трудность — правильно совместить линейку с отрезком, иначе шкала даст неверный результат.

1. Положите линейку так, чтобы нулевая отметка совпала с точкой A.
2. Проверьте, что отрезок идёт вдоль шкалы линейки, а не наискось.
3. Найдите отметку, напротив которой находится точка B.
4. Запишите результат в сантиметрах, а затем переведите его в миллиметры, учитывая, что 1 см = 10 мм.

Ответ: длина AB равна показанию шкалы у точки B; например, если там 4 см, то AB = 4 см = 40 мм.

Задача 3

Условие: на луче с началом O отложите OA = 3 см, затем от точки A в том же направлении отложите AB = 2 см. Требуется найти OB, то есть расстояние от начала луча до второй точки.

1. Поставьте точку O и проведите луч в выбранном направлении.
2. От точки O по лучу отмерьте 3 см и отметьте точку A.
3. От точки A в том же направлении отмерьте ещё 2 см и отметьте точку B.
4. Точки A и B расположены последовательно, поэтому сложите длины: OB = OA + AB = 3 + 2 = 5 см.

Ответ: OB = 5 см. Складывать здесь можно потому, что оба отрезка лежат на одном луче последовательно и имеют общую точку A.

Типичные ошибки

Иногда считают, что у прямой есть начало и конец, потому что на листе её рисуют ограниченным кусочком. Так происходит из-за размеров бумаги, а не из-за свойств самой прямой. Проверяйте себя: мысленно продолжайте её в обе стороны и ставьте стрелки на концах изображения.

Луч путают с отрезком, когда смотрят только на его начальную часть. У луча есть начало, но нет конца, а у отрезка есть два конца. Проверьте обозначение: у луча первая буква показывает начало, а у отрезка две буквы называют оба конца.

Ошибка при измерении возникает, если приложить к концу отрезка не нулевую, а другую отметку. Тогда показание у второго конца показывает не всю длину, а только разницу между двумя отметками. Всегда сначала убедитесь, что ноль совпал с началом, и только потом считывайте результат.

Нельзя складывать любые два отрезка только потому, что у них известны длины. Если они не стоят последовательно на одной прямой, сумма может не быть длиной нужного целого отрезка. Перед вычислением проверьте общий конец, одно направление и отсутствие перекрытия частей.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь пользоваться линейкой, отмечать точки и измерять длину в сантиметрах и миллиметрах. Эти навыки позволяют выполнять построения аккуратно и проверять результат не на глаз, а измерением.

Прямая, отрезок и луч понадобятся при изучении углов, многоугольников и геометрических построений. Например, стороны многоугольника являются отрезками, а лучи помогают изображать стороны угла.

Что запомнить

• Точка обозначает положение и не имеет размеров.
• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая бесконечна в обе стороны.
• У отрезка два конца, а его длину можно измерить.
• Луч имеет начало и бесконечно продолжается в одном направлении.
• Длины последовательно расположенных частей отрезка складываются.