§ 1. Отрезок, прямая, луч

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка, и обе входят в него; отрезок с концами A и B обозначают AB. Такое обозначение помогает понять, какие именно точки ограничивают фигуру, например когда нужно измерить её длину.

Прямая — линия без концов, которая продолжается бесконечно в обе стороны. Её можно обозначить двумя заглавными буквами, поставленными на этой прямой, например прямой AB. По буквам можно понять, какую именно прямую имеют в виду, если на чертеже показано несколько линий.

Луч — часть прямой, у которой есть начало и которая продолжается бесконечно в одну сторону. Луч с началом C, проходящий через D, обозначают лучом CD: первая буква указывает начало, а вторая — направление. Порядок букв нужен, потому что лучи CD и DC могут начинаться в разных точках.

Точка — геометрический объект, которым отмечают положение и границы других фигур. На чертеже точку обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. Это позволяет назвать концы отрезка или начало луча и отличить их от других точек.

Как это устроено

Прямая может продолжаться в обе стороны без конца, поэтому она служит общей линией, на которой удобно выбирать нужные точки. Если отметить на ней две точки, можно выделить часть прямой между ними или часть, идущую от одной точки в выбранную сторону. Так одни и те же точки на прямой помогают задать разные геометрические фигуры.

Две точки на прямой ограничивают отрезок, потому что мы берём только часть линии между ними. Сами отмеченные точки тоже входят в эту часть: без них границы отрезка были бы не обозначены. Поэтому точки называются концами отрезка, а по их буквам можно назвать сам отрезок.

Чтобы получить луч, выбирают точку начала и одну из сторон прямой. Все точки луча лежат либо в начале, либо дальше от него в выбранном направлении, а точки по другую сторону начала в этот луч не входят. Такое правило позволяет отличить один луч от противоположного, даже если оба расположены на одной прямой.

В обозначении луча сначала пишут букву его начала, а затем букву точки, через которую он проходит. Например, луч CD начинается в C и направлен через D; луч DC начинается уже в D. Поэтому перестановка букв меняет фигуру, а не просто порядок записи.

На листе нельзя провести линию бесконечной длины, поэтому на чертеже видна только её часть. Край штриха — это граница рисунка, а не обязательно граница фигуры: прямая продолжается за штрих в обе стороны, луч — в одну. У отрезка, напротив, концы действительно ограничивают фигуру.

Сравнение отрезка, прямой и луча

Сначала найди, есть ли у фигуры начало или концы, а затем проверь, в какую сторону она продолжается. Строка об обозначении помогает правильно прочитать буквы: у луча особенно важно, какая буква стоит первой. Сравнивая все признаки вместе, не перепутай свойства фигуры с тем, как конечный штрих выглядит на чертеже.

Разбор задач

1. На прямой отмечены точки A и B. Назовите получившийся отрезок и его концы.

Нужно назвать часть прямой, ограниченную отмеченными точками. По условию именно A и B задают границы, поэтому они будут концами искомого отрезка. При обозначении записывают буквы этих концов.

1. Находим две точки, которые ограничивают выбранную часть прямой: это A и B.
2. Берём часть линии между A и B вместе с самими точками, потому что концы принадлежат отрезку.
3. Записываем обозначение по концам: отрезок AB. Его концы — точки A и B.

Ответ: отрезок AB; его концы — A и B. Порядок букв здесь не меняет границы отрезка: запись BA тоже называет тот же отрезок, потому что его концы остаются A и B. Важно не назвать отрезком всю прямую, на которой эти точки отмечены.

2. Изобразите луч с началом C, проходящий через точку D. Запишите его обозначение.

Луч должен начинаться в точке C и идти в сторону точки D. Значит, на чертеже сначала отмечают начало, затем выбирают направление через D. Штрих проводят от C через D и мысленно продолжают за D в ту же сторону.

1. Поставьте точку C и отметьте точку D так, чтобы она находилась в выбранном направлении от C.
2. Проведите линию от C через D, продолжив её дальше за D; у точки C находится начало луча.
3. Запишите буквы в нужном порядке: сначала начало C, затем точка направления D.

Ответ: луч CD. Первая буква показывает, что луч начинается в C, а вторая указывает, через какую точку он направлен. Если записать DC, начало окажется в D, поэтому это будет другой луч.

3. Точки A, B и C лежат на одной прямой в таком порядке. Назовите лучи с началом B, содержащие A и C, и объясните, почему это разные лучи.

Порядок точек A, B, C означает, что B расположена между A и C. Поэтому от B точка A находится в одну сторону, а C — в противоположную. Чтобы назвать каждый луч, сначала записываем общее начало B, а затем точку, через которую он проходит.

1. Для луча, содержащего A, берём начало B и точку A как указатель направления. Получаем луч BA.
2. Для луча, содержащего C, сохраняем начало B, но указываем точку C. Получаем луч BC.
3. Сравниваем направления: A и C лежат по разные стороны от B, поэтому лучи BA и BC идут в противоположные стороны.

Ответ: лучи BA и BC. Они разные, хотя имеют общее начало B, потому что направлены в противоположные стороны. Если бы точка, указывающая направление, лежала с той же стороны от B, луч был бы направлен туда же.

Типичные ошибки

Ошибка — называть фигуру отрезком, лучом или прямой только по виду штриха. На чертеже все три могут выглядеть как линии, но рисунок не всегда показывает их продолжение полностью. Проверь, есть ли два настоящих конца, одно начало или бесконечное продолжение в обе стороны: именно это определяет фигуру.

Иногда кажется, что прямая заканчивается у края чертежа. Так происходит потому, что на бумаге показывают лишь небольшой участок бесконечной линии. Проверь себя по определению: у прямой нет концов, поэтому края проведённого штриха сами по себе концами прямой не являются.

Если поменять местами буквы в обозначении луча, можно ошибочно указать другое начало. Это легко пропустить, когда читаешь буквы как обычное название из двух символов. Перед записью найди начало на чертеже и проверь, что оно обозначено первой буквой; вторая должна указывать направление.

Ещё одна ошибка — исключать концы отрезка или начало луча из самой фигуры. Их могут принять за отдельные отметки, потому что на рисунке они выглядят как точки на линии. Проверь определение: оба конца принадлежат отрезку, а начало принадлежит лучу; эти точки задают границы, но не лежат вне фигуры.

Связь с другими темами

Чтобы читать чертежи, нужно уметь распознавать точки и обозначать их заглавными латинскими буквами. Отрезки используют, когда измеряют длину и строят геометрические фигуры: их концы помогают точно задать границы. Прямые и лучи понадобятся при изучении углов, треугольников и взаимного расположения фигур. Понимание того, где линия начинается и как продолжается, помогает описывать такие построения без путаницы.

Что запомнить

• Отрезок ограничен двумя концами.
• Прямая не имеет концов и продолжается в обе стороны.
• Луч имеет начало и продолжается в одну сторону.
• Концы отрезка принадлежат отрезку.
• Начало луча принадлежит лучу.
• В обозначении луча первая буква указывает его начало.