"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Точка — положение на плоскости без размера, а отрезок — часть прямой между двумя точками. Точки обозначают заглавными латинскими буквами, а отрезок называют по его концам, например AB. У каждого отрезка есть длина — расстояние между концами. Её измеряют линейкой и записывают числом с единицей измерения: 6 см. Эти понятия нужны для построения и изучения всех геометрических фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точка — геометрическая фигура без размера. На чертеже её отмечают маленьким следом карандаша и обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. Точки нужны, чтобы указывать положения и задавать другие фигуры.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка. Понятие отрезка помогает описывать прямую часть между двумя заданными местами.
Отрезок с концами A и B обозначают AB. Буквы можно записать и наоборот: AB и BA — один и тот же отрезок, потому что его концы не изменились. По записи сразу можно узнать, какими точками он ограничен.
Длина отрезка — расстояние между его концами. Её обозначают теми же буквами, что и отрезок, но без черты сверху: AB = 5 см. Длина позволяет измерять и сравнивать отрезки с помощью чисел.
У геометрической точки нет ширины и высоты, поэтому нарисовать её буквально невозможно. Маленький след карандаша имеет размер, но он лишь заменяет невидимую идеальную точку на бумаге. Чем аккуратнее такой след, тем легче понять, где находится точка.
Две различные точки задают отрезок: через них проводят прямую часть, соединяющую одну точку с другой. Если взять другие точки, получится уже другое положение или другой отрезок. Концы входят в состав отрезка, потому что именно они ограничивают его с обеих сторон.
Запись AB читают как отрезок АВ и понимают, что его концы — A и B. Если речь идёт не о самой фигуре, а о расстоянии между концами, те же буквы обозначают длину: например, AB = 4 см. Отличить название отрезка от его длины помогает единица измерения и смысл предложения.
Линейка имеет деления, поэтому один конец отрезка совмещают с нулевой отметкой, а напротив другого конца смотрят число. Полученное число показывает, сколько единиц длины укладывается между концами. Например, запись 7 см означает длину семь сантиметров, а не просто название фигуры.
Сравнить два отрезка можно наложением: один конец и направление совмещают, после чего смотрят, где окажутся другие концы. Если наложение неудобно, достаточно измерить оба отрезка и сравнить числа. При одинаковых единицах большему числу соответствует более длинный отрезок.
Таблица помогает быстро отличить саму фигуру, её части и измеряемую величину. При чтении сначала найдите объект, затем посмотрите, как его записывают и что о нём можно узнать.
| Объект | Как обозначают | Из чего состоит | Что можно указать |
|---|---|---|---|
| Точка | A, B, M | Отдельное положение, без размера | Название и положение |
| Отрезок | AB | Концы и все точки между ними | Концы и длину |
| Концы отрезка | A и B | Две точки, ограничивающие отрезок | Название отрезка |
| Длина отрезка | AB без черты | Расстояние между концами | Число и единицу длины |
Задача 1. Отметь на листе точки A и B и обозначь отрезок, который соединяет их. Нужно показать, что именно две точки определяют границы отрезка. Поэтому сначала отмечают точки, а уже затем проводят соединяющую их часть прямой.
Ответ: построен отрезок AB с концами A и B.
Задача 2. Начерти отрезок MN длиной 6 см и подпиши его концы. Здесь задано не только название фигуры, но и расстояние между её концами, поэтому без линейки построение будет неточным.
Ответ: отрезок MN длиной 6 см.
Задача 3. Длина отрезка CD равна 8 см, а длина отрезка EF — 5 см. На сколько сантиметров CD длиннее EF? Вопрос просит найти не длину CD, а разницу между двумя длинами, поэтому нужно вычесть меньшую величину из большей.
Ответ: отрезок CD длиннее EF на 3 см.
Иногда точку считают маленьким кружком с настоящим размером. Так происходит потому, что на бумаге нужно чем-то показать её положение. Проверь себя: воспринимай кружок только как условный знак, а не как фигуру с измеряемым диаметром.
Некоторые называют отрезком только его внутреннюю часть и исключают концы. Ошибка возникает из-за представления, будто концы лишь ограничивают фигуру снаружи. Проверь себя: мысленно проведи отрезок от первой конечной точки до второй — обе точки должны входить в него.
Можно перепутать отрезок AB с его длиной AB. Название обозначает геометрическую фигуру, а длина является расстоянием и записывается с единицей, например AB = 4 см. Проверь смысл записи: если рядом стоит сантиметр или миллиметр, речь идёт о величине.
Нельзя сравнивать 6 см и 45 мм как обычные числа или оставлять длину без единицы. Единицы разные, поэтому сначала переведи их в одну систему: 6 см = 60 мм. Проверь итоговую запись и обязательно укажи единицу измерения.
До изучения точки и отрезка нужно уметь пользоваться линейкой и знать единицы длины: миллиметр, сантиметр и дециметр. Это позволяет правильно строить фигуры и записывать результаты измерений. При сравнении все величины удобно выражать в одной единице.
Точки и отрезки станут основой для следующих геометрических понятий. Из них составляют прямую, луч и многоугольники, а также используют их при построении различных фигур. Умение отмечать точки и соединять их пригодится почти в каждом геометрическом чертеже.
Почему точку рисуют кружком, если у неё нет размера?
Настоящая геометрическая точка размера не имеет. Кружок или маленький след карандаша на чертеже нужен только для того, чтобы глаз мог увидеть и отметить её положение.
Входят ли концы в отрезок?
Да, оба конца входят в состав отрезка. Поэтому отрезок содержит не только точки между концами, но и сами точки, которыми он ограничен.
Чем обозначение отрезка отличается от обозначения его длины?
Запись AB обозначает сам отрезок с концами A и B. Его длину тоже записывают буквами AB, но это уже расстояние и обычно рядом указывают единицу измерения, например AB = 4 см.
Отрезки AB и BA — разные отрезки?
Нет, это один и тот же отрезок. Порядок букв не меняет его положение и длину, потому что концы A и B те же.
Как сравнить длины отрезков, если они начерчены в разных местах?
Измерьте оба отрезка одной и той же линейкой и сравните получившиеся числа с одинаковыми единицами. Можно также вырезать один отрезок и наложить его на другой, совместив концы.
1.1. Точки и отрезки
