1.2. Прямая и луч. Дополнительные лучи

Определения и обозначения

Прямая — линия без начала и конца. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек на ней: AB. Такие обозначения позволяют назвать линию и отличить её от других на чертеже.

Луч — часть прямой, у которой есть одна ограничивающая точка, а дальше линия продолжается в одну сторону. Эту точку называют началом луча. Луч обозначают двумя буквами, например OA: первая указывает начало, а вторая задаёт направление, поэтому обозначение помогает точно прочитать чертёж.

Дополнительные лучи — два луча с общим началом, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны. Они расходятся от общей точки в разные стороны и вместе образуют прямую. Это понятие нужно, чтобы описывать части прямой и отличать такую пару от любых двух лучей с общим началом.

Как это устроено

Через две различные точки можно провести только одну прямую. Если бы через те же точки проходили две разные прямые, они совпали бы в этих точках, а значит, это была бы одна и та же прямая. На чертеже линию обычно показывают коротким отрезком, но мысленно продолжают за обе точки в обе стороны: у прямой нет концов.

Представь прямую и точку O на ней. Точка разделяет линию на две части: от O каждая часть уходит в свою сторону и не имеет конца. Поэтому получаются два луча с одним началом O. Они вместе покрывают прямую, но каждый по отдельности продолжается только в одну сторону.

Для луча важно, в каком порядке записаны буквы. В обозначении OA первой стоит точка O — начало, а точка A показывает, куда направлен луч. Если поменять буквы местами и написать AO, началом станет A, поэтому получится другой луч. По этой причине сначала находи первую букву и только потом смотри на вторую.

Чтобы определить, являются ли лучи дополнительными, проверь три признака. У них должно быть одно начало, они должны лежать на одной прямой и уходить от начала в противоположные стороны. Все условия нужны одновременно: например, общего начала недостаточно, если лучи направлены под углом.

На чертеже сначала найди общую точку — начало лучей. Затем проверь, лежат ли оба луча на одной прямой: они должны составлять одну ровную линию, а не угол. Наконец, убедись, что они смотрят в разные стороны от начала. Если хотя бы один признак не подходит, лучи не дополнительные.

Сравнение прямой, луча и дополнительных лучей

Сначала определи, есть ли у объекта начало, а затем посмотри, в какую сторону он продолжается. Для пары лучей отдельно проверь общее начало, одну прямую и противоположные направления. Таблица помогает сравнить признаки, не смешивая прямую с одним лучом или с парой лучей.

Разбор задач

Задача 1

На прямой отметили точки A и B. Назовите луч с началом A, проходящий через B, и укажите его начало. Нужно проследить, какая точка названа первой, а какая задаёт направление. В обозначении луча порядок букв имеет смысл.

1. Найди точку, где луч начинается: по условию это A.
2. Запиши первой букву A, а второй — букву B, через которую проходит луч.
3. Получается луч AB; его начало — точка A.

Ответ: луч AB, начало — A.

Задача 2

Точка O лежит на прямой. Назовите два луча, на которые она делит прямую, и определите, являются ли они дополнительными. На прямой должны быть указаны точки по разные стороны от O, например A и B. Сравним расположение лучей с признаками дополнительных лучей.

1. Луч в сторону A обозначается OA, а луч в сторону B — OB.
2. У лучей общее начало O, и оба лежат на одной прямой.
3. Точки A и B находятся по разные стороны от O, поэтому лучи направлены противоположно.

Ответ: лучи OA и OB; они дополнительные, так как выполнены все три условия.

Задача 3

Из точки O проведены лучи OA, OB и OC. Точки A и B лежат на одной прямой по разные стороны от O, а C — вне этой прямой. Нужно найти пару дополнительных лучей и объяснить, почему третий не подходит. Сравним лучи по расположению, а не только по общему началу.

1. У всех трёх лучей начало O.
2. OA и OB лежат на одной прямой, причём A и B находятся по разные стороны от O.
3. OC не лежит на этой прямой, поэтому пара OA и OC не проходит проверку на одну прямую; так же не подходит пара OB и OC.

Ответ: дополнительные лучи — OA и OB. Луч OC не входит в эту пару, потому что направлен вне прямой AB.

Типичные ошибки

Считать луч ограниченным двумя точками. Так думают, потому что в обозначении луча записаны две буквы. Но только первая точка является началом, а вторая задаёт направление; луч продолжается дальше неё. Проверь себя: спроси, какая буква стоит первой и где у линии действительно конец.

Менять местами буквы в обозначении луча. Иногда кажется, что OA и AO называют один и тот же луч, ведь используются те же точки. Однако первая буква обозначает начало, и после перестановки оно меняется. Для проверки сначала назови начало, а затем направление.

Называть дополнительными любые два луча с общим началом. Общее начало заметить проще всего, поэтому остальные условия могут забыть. Но лучи должны также лежать на одной прямой и быть направлены в разные стороны. Проверь все три признака по очереди.

Путать прямую с лучом. На рисунке оба объекта могут выглядеть как короткие линии, поэтому легко не заметить, куда они продолжаются. У прямой нет начала и она идёт в обе стороны, а у луча есть начало и он идёт в одну. Мысленно продолжи изображение и отметь, есть ли у него начальная точка.

Связь с другими темами

Перед этой темой полезно уметь отмечать точки и узнавать прямую на чертеже: без этого трудно следить за началом и направлением луча. Позже лучи помогут изучать углы: стороны угла являются лучами с общим началом. Знание того, как изображают прямые и лучи, также помогает читать геометрические чертежи и описывать взаимное расположение фигур.

Что запомнить

• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Две точки задают единственную прямую.
• Луч имеет начало и продолжается в одну сторону.
• В обозначении луча первая буква указывает его начало.
• Дополнительные лучи имеют общее начало и лежат на одной прямой.
• Дополнительные лучи направлены в противоположные стороны.