§ 2. Веселые минутки на уроках геометрии: графические диктанты и… координаты

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями и началом отсчёта. Её удобно представлять как клетчатое поле, на котором можно точно указать место каждой точки. Такая плоскость нужна, чтобы строить фигуры и описывать положение их вершин числами.

Координатные оси — горизонтальная ось абсцисс и вертикальная ось ординат, задающие направление отсчёта. Обычно ось абсцисс обозначают буквой x, а ось ординат — буквой y. По ним определяют, в какую сторону и на сколько единиц переместиться от начала координат.

Координаты точки — пара чисел, показывающая её положение относительно осей. Например, запись A(2; 3) означает, что точка A находится на расстоянии двух единиц по горизонтали и трёх по вертикали от начала координат. Координаты помогают точно находить точки и не путать их с соседними.

Графический диктант — выполнение рисунка по последовательности инструкций о направлении и длине отрезков. Команды могут задавать, например, сколько клеток пройти вправо, вверх, влево или вниз. Такой диктант нужен, чтобы превратить словесный алгоритм в ломаную или целую фигуру.

Как это устроено

Оси пересекаются в одной точке — начале координат. От неё ведут отсчёт, потому что без общей начальной точки было бы непонятно, откуда измерять положение объекта. На каждой оси отмечают деления, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними числами. Если он равен одной клетке, то каждый шаг по клеткам меняет координату на одну единицу.

Для каждой точки нужны два числа, потому что на плоскости есть два независимых направления: горизонтальное и вертикальное. Первое число относится к оси абсцисс, второе — к оси ординат. Такой порядок выбран, чтобы все одинаково читали запись: в точке (3; 2) сначала ищут положение по горизонтали, а потом по вертикали. Если переставить числа местами, получится другая точка.

Чтобы найти точку по координатам, сначала перемещаются от начала координат вдоль оси абсцисс, а затем — параллельно оси ординат. Например, для точки (4; 2) нужно пройти четыре единицы вправо, затем две вверх. Такой порядок удобен: первое движение задаёт нужную вертикальную линию, а второе приводит к пересечению с нужной горизонтальной линией. Если координата отрицательная, движение идёт в противоположную сторону.

Координаты точки на готовом рисунке можно определить с помощью мысленных или вспомогательных перпендикуляров к осям. От точки проводят мысленную вертикальную линию к горизонтальной оси и горизонтальную — к вертикальной. Так становится видно, на каком делении находится её положение по каждому направлению. Этот способ помогает не угадывать координаты по клеткам на глаз.

Команды графического диктанта задают отрезки один за другим, поэтому вместе они образуют ломаную. Каждая новая команда начинается там, где закончилась предыдущая. Если последняя команда приводит в начальную точку, ломаная замыкается и получается контур фигуры. Длина шага определяет размер отрезка, а направление команды — его расположение.

Координатная плоскость и графический диктант

Сначала найди в таблице нужный элемент и прочитай, что он обозначает. Затем используй последнюю колонку как подсказку для построения или проверки. При выполнении диктанта особенно следи за порядком команд и единичным отрезком.

Разбор задач

Прямоугольник по координатам

Отметить A(2; 1), B(2; 4), C(5; 4) и найти D, если ABCD — прямоугольник, вершины которого идут по порядку. У точек A и B одинаковая первая координата, значит, отрезок AB вертикальный. У B и C одинаковая вторая координата, поэтому BC горизонтальный. Эти наблюдения помогут найти оставшуюся вершину без измерения на глаз.

1. От начала координат пройди две единицы вправо и одну вверх — получишь A(2; 1). Затем отметь B(2; 4): она находится на той же вертикали, но выше.
2. Точку C(5; 4) поставь на три единицы правее B, сохранив ту же высоту. Чтобы получить прямоугольник, от C нужно провести сторону вниз, параллельную AB.
3. Точка D должна находиться на высоте A, то есть иметь вторую координату 1, и на вертикали C, то есть иметь первую координату 5. Поэтому D(5; 1).

Ответ: D(5; 1). Проверка: AB и CD вертикальны, а BC и DA горизонтальны. У противоположных вершин совпадают соответствующие координаты, поэтому построение согласуется с прямоугольником.

Графический диктант и замкнутая фигура

Из точки (1; 1) нужно пройти 4 клетки вправо, 3 вверх, 4 влево и 3 вниз. Удобно выполнять команды по очереди, каждый раз отмечая конец нового отрезка. Начальная точка уже задана, а клетка здесь принимается за единицу длины.

1. Из (1; 1) пройди вправо на четыре клетки. Первая координата увеличится на 4, поэтому получишь точку (5; 1).
2. Поднимись на три клетки: вторая координата увеличится на 3, и ты окажешься в точке (5; 4). Затем пройди влево на четыре клетки и вернись к первой координате 1 — получится (1; 4).
3. Спустись на три клетки. Вторая координата снова станет равна 1, значит, конечная точка — (1; 1), то есть начальная.

Ответ: получился прямоугольник со сторонами 4 и 3 клетки. Контур замкнулся, потому что после последней команды мы вернулись в точку старта. Все углы прямые: соседние отрезки идут по горизонтали и вертикали.

Фигура по пяти вершинам

Нужно построить точки A(1; 1), B(6; 1), C(6; 3), D(4; 5), E(1; 3), соединить по порядку и определить вид фигуры. Важно не соединять точки в произвольном порядке: именно последовательность задаёт границу рисунка. После E контур замыкают, соединив эту точку с A.

1. Отметь A и B на горизонтали y = 1: они находятся на расстоянии пяти единиц друг от друга. Затем поставь C прямо над B, на высоте 3.
2. Точка D расположена на две единицы левее C и на две выше него. От D проведи отрезок к E(1; 3), а затем замкни контур отрезком EA.
3. Посчитай вершины в получившемся контуре: их пять — A, B, C, D и E. Фигура с пятью вершинами и пятью сторонами называется пятиугольником.

Ответ: получился пятиугольник. Его стороны не все одинаковы, поэтому называть его правильным пятиугольником нельзя. Проверка порядка проста: каждый отрезок соединяет соседние точки в списке, а последняя сторона возвращает к началу.

Типичные ошибки

• Координаты записывают в обратном порядке, потому что начинают отсчёт с вертикального направления. Тогда точка оказывается не там, где задано. Проверь себя правилом «сначала вправо или влево, затем вверх или вниз» и сравни первые координаты точек, лежащих на одной вертикали.

• Точку ставят примерно между делениями, не находя пересечение нужных направлений. Так бывает, когда координаты считают на глаз или теряют клетку при отсчёте. Проведи мысленно вертикаль от деления первой координаты и горизонталь от деления второй: точка должна стоять на их пересечении.

• Путают положительные и отрицательные направления, выбирая сторону от начала координат невнимательно. Из-за этого точка оказывается в противоположной стороне от оси. Сначала найди начало координат, затем проверь: по горизонтали плюс направлен вправо, по вертикали плюс — вверх.

• Соединяют точки не в том порядке или пропускают одну из них, потому что сосредоточены только на самих вершинах. Но изменение порядка может полностью изменить рисунок или создать пересечение. Перед проведением каждого отрезка сверяйся со списком команд или вершин, а в конце проверь, куда должна вести последняя линия.

Связь с другими темами

Для работы с координатами пригодятся знания о натуральных и целых числах, числовом луче, направлении и длине отрезка. Нужно также уметь пользоваться масштабом, чтобы понимать, сколько клеток соответствует одной единице. Координатная плоскость помогает строить геометрические фигуры и читать планы и схемы. Графические диктанты развивают пространственное мышление, внимательность и умение выполнять инструкции по порядку, а координаты будут встречаться и в старших классах.

Что запомнить

• Координаты точки записывают в скобках парой чисел.
• Первое число показывает положение по оси абсцисс, второе — по оси ординат.
• Начало координат имеет координаты (0; 0).
• При построении точки сначала находят её положение по горизонтали, затем по вертикали.
• Единичный отрезок определяет масштаб координатной плоскости.
• В графическом диктанте важно соблюдать направление, длину шага и порядок команд.
• Для получения фигуры точки соединяют в заданной последовательности.