3. Действия с различными конструкциями

Определения и обозначения

Конструкция — фигура или предмет, составленный из отдельных геометрических частей. Чтобы распознать конструкцию, посмотри на её внешнюю границу и найди внутри линии, разделяющие её на части. Это помогает увидеть не только целое, но и то, как оно устроено.

Элемент конструкции — отдельная фигура или деталь, из которой составлено целое. Например, элементами могут быть треугольники, квадраты или другие многоугольники. Если передвинуть деталь, она остаётся той же формы: меняется только её положение, а это важно при поиске нового расположения частей.

Составление конструкции — получение целой фигуры из заданных частей. Детали можно соединить разными способами, поэтому из одного набора иногда получаются разные конструкции. Это понятие нужно, чтобы описывать действия с частями, а не путать их с изменением самих деталей.

Разбиение конструкции — разделение целой фигуры на части по линиям или границам. Если собрать полученные части вместе, они должны дать исходное целое. Такое правило помогает проверить, что при разбиении ничего не потеряно и не добавлено.

Как это устроено

Чтобы определить, из каких частей составлена фигура, сначала проследи её внешнюю границу. Затем найди внутренние линии, которые отделяют одну область от другой, и рассмотрите очертания каждой области. Так становится понятно, где проходят границы деталей и какими сторонами они соприкасаются: без этого трудно восстановить способ сборки.

Одна конструкция может выглядеть по-разному, если переставить её части. Причина в том, что меняются места деталей и их соседство, хотя число частей и форма каждой из них остаются прежними. Поэтому сравнивать такие конструкции нужно не только по внешнему виду, но и по составу: одинаковые детали могут образовать разные целые.

Собирая фигуру из заданного набора, сначала изучи форму и размеры каждой детали. Подбирай соприкасающиеся стороны так, чтобы границы плотно подходили друг к другу: иначе появится пустое место или одна часть наложится на другую. Полезно мысленно представить общую внешнюю границу будущей фигуры и сверять с ней каждый шаг сборки.

Разбивая фигуру на части, проводи линии так, чтобы они оставались внутри её границ или шли по её краю. После этого проверь результат: каждая часть должна быть частью исходного целого, а все части вместе — покрывать его полностью. Если есть непокрытая область или перекрытие, значит, разбиение не подходит.

Поворот и переворот помогают найти новое положение детали. При повороте деталь разворачивается вокруг выбранной точки, а при перевороте её можно мысленно представить обращённой другой стороной. Эти действия не меняют её форму, но позволяют совместить нужные границы, которые при первоначальном положении не подходили друг к другу.

Действия с конструкцией и способы проверки

Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, какое действие выполняешь, а затем проверь, что должно остаться неизменным. Для сборки и разбиения особенно внимательно осмотри промежутки и места наложения. При перестановке, повороте или перевороте сравнивай форму деталей, а не их положение.

Разбор задач

Задача 1. Из двух одинаковых треугольников составить четырёхугольник и перечислить возможные варианты соединения. Совместить можно только равные стороны, иначе границы не совпадут. Поскольку у треугольника три стороны, стоит проверить соединение по каждому из трёх типов сторон.

1. Выбери одну сторону первого треугольника и такую же сторону второго.
2. Приложи треугольники друг к другу этими сторонами так, чтобы они лежали по разные стороны от общей стороны. Общая сторона окажется внутри, а внешняя граница составит четырёхугольник.
3. Повтори действие для двух других типов сторон треугольника. Если треугольники равнобедренные или равносторонние, некоторые варианты могут совпасть по виду.

Ответ: можно получить варианты соединения по каждому из трёх типов сторон; совпадающие из-за равенства сторон варианты считают одним и тем же по виду.

Задача 2. Разбить изображённую фигуру на заданное число частей, проводя отрезки между её вершинами. Само изображение и число частей здесь не заданы, поэтому разберём общий способ. Он помогает не вывести отрезок за границу и получить части, которые составляют целое.

1. Посчитай, сколько частей требуется, и рассмотри вершины, между которыми разрешено проводить отрезки.
2. Выбирай линии по одной: каждый новый отрезок должен лежать внутри фигуры или на её границе. Следи, чтобы он действительно разделял область, а не проходил по уже проведённой линии.
3. После каждого шага пересчитывай области. Когда их число станет нужным, проверь, что ни одна часть не выходит за контур и все вместе заполняют исходную фигуру.

Ответ: проведи отрезки между вершинами так, чтобы получилось заданное число областей, полностью покрывающих исходную фигуру.

Задача 3. Из набора геометрических деталей составить заданную фигуру, используя каждую деталь ровно один раз. Чтобы решить задачу, нужно учитывать внешний контур цели и внутренние границы между деталями. Без рисунков набора и фигуры нельзя назвать конкретное расположение, но можно последовательно подобрать его.

1. Рассмотри контур заданной фигуры и найди детали, чьи стороны могут образовать его отдельные участки.
2. Положи подходящую деталь у границы. Если её стороны не совпадают с нужным участком, поверни или переверни её и проверь снова.
3. Добавляй остальные детали, сопоставляя соседние границы. Используй каждую ровно один раз и после каждого шага проверяй, не возникли ли промежутки или наложения.
4. Сравни получившийся внешний контур с заданной фигурой и пересчитай использованные детали.

Ответ: искомая фигура составлена, если её контур совпадает с заданным, все детали использованы по одному разу, а между ними нет промежутков и наложений.

Типичные ошибки

Ошибка — думать, что перестановка частей меняет сами детали. Так кажется, потому что после перемещения меняется общий вид конструкции. Проверь себя: сравни форму и границы каждой детали до и после перестановки — изменилось только её место.

Если между деталями остаются промежутки или они накладываются друг на друга, нужная конструкция не получилась. Такое случается, когда детали подбирают только по общему очертанию и не проверяют места соединения. Проведи взглядом по всем границам: стороны должны стыковаться без пустот и наложений.

При разбиении нельзя забывать о границах исходной фигуры. Если провести линию так, что часть выходит за контур, или оставить кусок целого без разделения, результат не составит нужную фигуру. Проверь каждую часть: она должна целиком находиться внутри исходного контура, а вместе части должны покрывать его полностью.

Иногда кажется, что собрать фигуру невозможно, если деталь не подходит в одном положении. Причина может быть в том, что её нужно повернуть или перевернуть. Перед тем как сдаться, попробуй оба действия и снова сравни границы; форма детали при этом не меняется.

Связь с другими темами

Для работы с конструкциями нужно уметь распознавать простые фигуры, называть их стороны и вершины: тогда проще находить границы деталей и места соединения. Понадобятся и представления о равных фигурах, измерении отрезков, а также навыки работы с чертёжными инструментами. Позже составление и разбиение фигур помогут изучать площади и геометрические преобразования, а также решать задачи на разрезание.

Что запомнить

• Конструкция состоит из отдельных геометрических частей.
• Части можно переставлять, поворачивать и переворачивать.
• При перестановке форма самих деталей не меняется.
• При составлении фигуры детали не должны перекрываться или оставлять промежутки.
• При разбиении части должны полностью составлять исходную фигуру.
• Проверяй результат по границам и числу использованных деталей.