2. Важные признаки геометрических фигур

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек. Она может быть простой, например одним отрезком или треугольником, либо составной, то есть собранной из нескольких фигур. Это определение помогает видеть фигуру как целое и замечать её отдельные части. Так можно описывать и простой чертёж, и сложный рисунок.

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Ломаная состоит из отрезков, а замкнутая означает, что её конец соединён с началом. Отрезки этой границы называются сторонами, а точки, где соседние стороны соединяются, — вершинами. Эти названия нужны, чтобы точно описывать форму и считать её части.

Треугольник — многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами. Чтобы распознать его, нужно проверить замкнутость границы и насчитать ровно три отрезка и три точки их соединения. Внешний вид может быть разным: треугольник не обязательно должен быть похож на равносторонний. Такой подсчёт позволяет узнать фигуру даже на необычном чертеже.

Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. Его отличают от треугольника и других многоугольников по числу отрезков границы, а не по тому, насколько фигура вытянута или наклонена. Сначала убедитесь, что контур замкнут, затем сосчитайте стороны и вершины. Так можно определить вид фигуры независимо от её размера и положения.

Как это устроено

Чтобы назвать фигуру многоугольником, недостаточно увидеть несколько отрезков: они должны образовывать замкнутую границу. Если цепочка не замкнута, у неё остаются начало и конец, поэтому она не ограничивает фигуру со всех сторон. Именно замыкание отделяет внутреннюю область от того, что находится снаружи. Поэтому при распознавании сначала проследите весь контур и проверьте, вернулся ли он в начальную точку.

Число сторон даёт простой способ различать многоугольники. У треугольника три стороны, у четырёхугольника четыре, а у пятиугольника пять; если сторон больше, можно назвать их количество или сказать, что перед нами многоугольник с таким числом сторон. Считать нужно только отрезки замкнутой границы. Так название опирается на проверяемый признак, а не на впечатление от формы.

Стороны и вершины удобно называть по порядку обхода границы. Например, если идти от одной вершины к соседней, соединяющий их отрезок будет стороной; в следующей точке начнётся следующая сторона. Порядок нужен, чтобы не перескакивать через участки контура и не путать соседние части. Обойти границу можно по часовой стрелке или против неё, но выбранного направления нужно придерживаться до конца.

Сложная фигура может быть разделена на несколько простых фигур внутренними отрезками. Чтобы увидеть её части, рассматривайте каждый участок отдельно и проследите его собственную границу. Внешний контур относится ко всей фигуре, а проведённый внутри отрезок служит границей частей, но не становится стороной внешнего многоугольника. Такое разделение помогает разбирать составной рисунок и находить в нём знакомые фигуры.

Признаки многоугольников

В таблице число сторон и вершин помогает сравнить разные многоугольники. Чтобы пользоваться ею, сначала проверьте, что контур замкнут, а затем сосчитайте его отрезки. Найдите строку с таким числом сторон и сверьте её с количеством вершин.

Разбор задач

Замкнутая и незамкнутая ломаные

Условие: на рисунке показаны замкнутая ломаная из трёх отрезков и незамкнутая ломаная из четырёх отрезков. Нужно определить, какая из них является многоугольником. Количество отрезков само по себе не решает задачу: сначала требуется проверить, образуют ли они замкнутый контур. Выполним проверку для каждой ломаной.

1. Проследим первую ломаную и проверим, соединён ли её последний отрезок с началом. По условию она замкнута.
2. Проверим вторую: её конец не соединён с началом, значит, граница остаётся открытой.
3. Сравним результат с определением: многоугольник ограничен замкнутой ломаной.

Ответ: многоугольником является замкнутая ломаная из трёх отрезков. Незамкнутая ломаная из четырёх отрезков многоугольником не является. Число отрезков не заменяет проверку замкнутости.

Считаем стороны и вершины

Условие: дана замкнутая ломаная, нужно посчитать её стороны и вершины и назвать фигуру. Чтобы не потерять место при счёте, выберем любую вершину и будем обходить контур в одном направлении. Закончим обход, когда вернёмся к начальной точке, и не станем считать её повторно.

1. Отметим начальную вершину мысленно и перейдём по первому отрезку к следующей.
2. На каждом участке границы посчитаем один отрезок, а в каждой новой точке соединения — одну вершину.
3. После полного обхода сравним числа: у замкнутой ломаной они должны совпасть; по числу сторон определим название.

Ответ: назовите фигуру по полученному числу сторон. Например, три стороны и три вершины означают треугольник, четыре стороны и четыре вершины — четырёхугольник. Если получилось другое число, соответствующее название определяется числом сторон.

Части сложной фигуры

Условие: сложная фигура разделена отрезками на несколько частей; нужно найти среди них треугольники и четырёхугольники. Не следует считать стороны всей фигуры и переносить этот результат на каждую её часть. Каждую часть проверим отдельно, рассматривая её собственную границу.

1. Выберем одну часть и проследим её контур, включая отрезки, которыми она отделена от соседних частей.
2. Проверим, что контур замкнут, затем сосчитаем стороны и вершины этой части.
3. Если их по три — это треугольник; если по четыре — четырёхугольник. Повторим проверку для остальных частей.

Ответ: к треугольникам относят части с замкнутой границей из трёх отрезков, а к четырёхугольникам — с границей из четырёх. Обоснование для каждой части — замкнутость и число её сторон и вершин. Внутренний отрезок может быть общей границей двух частей, но внешнему контуру всей фигуры он не принадлежит.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать многоугольником незамкнутую ломаную. Так происходит, когда считают отрезки и не замечают разрыва между концом и началом. Проверьте себя: проследите линию до конца и убедитесь, что она возвращается к исходной точке.

Ошибка: считать внутренние отрезки сторонами всей фигуры. Их принимают за стороны, потому что они хорошо заметны и разделяют рисунок на части. Проверьте себя, обводя только внешний контур: его отрезки и являются сторонами целого многоугольника.

Ошибка: получить разное число сторон и вершин из-за пропуска или повторного счёта точки. Это случается, если перескочить через часть контура или начать считать вершины заново не с того места. Проверьте себя повторным обходом в одном направлении и отметьте начальную точку, чтобы не посчитать её дважды.

Ошибка: определять вид фигуры только по внешнему виду. Поворот или вытянутая форма могут сбить с толку, хотя число сторон от этого не меняется. Проверьте себя: убедитесь, что граница замкнута, и сосчитайте её стороны; именно по этому признаку различают виды многоугольников.

Связь с другими темами

Для работы с многоугольниками понадобятся знания о точке, отрезке и ломаной, а также умение считать отрезки и распознавать замкнутую линию. Позже эти признаки помогут изучать периметр: при его нахождении рассматривают стороны границы. Разделение составной фигуры на простые части пригодится в задачах на площадь и при построениях. Умение точно находить контур помогает классифицировать геометрические фигуры.

Что запомнить

• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Стороны многоугольника — отрезки его границы.
• Вершины — точки соединения соседних сторон.
• У треугольника три стороны и три вершины.
• У четырёхугольника четыре стороны и четыре вершины.
• Внутренние отрезки фигуры не становятся её сторонами.