Многогранники

Определения и обозначения

Многогранник — пространственная фигура, поверхность которой состоит из многоугольников. Иначе говоря, это объёмное тело с плоскими сторонами, например куб. Определение помогает отличить такие фигуры от тел с закруглённой поверхностью.

Грань — многоугольник, составляющий поверхность многогранника. Например, каждая плоская сторона куба является квадратной гранью. Понятие грани нужно, чтобы описывать, из каких частей состоит поверхность фигуры.

Ребро — сторона, по которой встречаются две грани. У куба каждое ребро является общей стороной двух квадратов. Если нужно пересчитать или сравнить элементы фигуры, важно искать именно такие общие стороны.

Вершина — точка, в которой сходятся рёбра многогранника. У куба вершинами являются углы, где сходятся по три ребра. Это понятие помогает точно находить места соединения частей фигуры и считать её углы.

Как это устроено

Чтобы представить многогранник, можно взять несколько многоугольников и соединить их сторонами так, чтобы они закрыли объёмную фигуру со всех сторон. Получившаяся поверхность должна быть замкнутой: у неё не должно оставаться отверстия или открытого края. Причина в том, что многогранник — целая пространственная фигура, а не набор отдельных плоских деталей. Если соединить многоугольники неудачно, они могут не закрыть поверхность или не сложиться в объёмное тело.

Когда две грани соприкасаются, их общая сторона становится ребром многогранника. Поэтому ребро нельзя искать внутри одной грани: оно обязательно разделяет две грани. Концы этой общей стороны — точки, в которых могут сходиться другие рёбра, то есть вершины. Так по соединениям граней можно понять устройство фигуры, а не просто запомнить названия её частей.

Куб удобно изучать на модели или на рисунке. У него все грани — квадраты; проследи за каждой стороной квадрата и найди соседний квадрат, с которым она общая. Каждую общую сторону считай один раз, даже если она принадлежит двум граням. Так находят 12 рёбер, а точки, в которых эти рёбра соединяются, дают 8 вершин; часть из них на рисунке может быть не видна.

Куб и прямоугольный параллелепипед похожи устройством: у обоих шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Но у куба грани — квадраты, а у прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники; длины сторон прямоугольников могут различаться. Поэтому при сравнении мало сосчитать элементы: нужно рассмотреть форму граней и размеры фигуры. Куб можно считать особым прямоугольным параллелепипедом, у которого все грани — равные квадраты.

Отличить многогранник от фигуры с кривой поверхностью помогает проверка всех её участков. Если поверхность полностью составлена из плоских многоугольников, перед нами многогранник. Если есть округлая поверхность, как у мяча или цилиндра, фигура не является многогранником. Плоский участок сам по себе ещё не делает предмет многогранником: его поверхность целиком должна состоять из многоугольников.

Примеры многогранников и их элементы

Таблица помогает быстро сравнить фигуры по форме граней и числу элементов. При подсчёте на рисунке учитывай всю фигуру, а не только видимые части. Чтобы определить фигуру по числам, дополнительно проверь форму её граней.

Разбор задач

Задача 1

Определите, является ли куб многогранником, и назовите форму его граней. Проверим не только внешний вид, но и устройство поверхности. Для этого достаточно выяснить, из каких плоских фигур она составлена.

1. У куба есть плоские стороны, каждая из которых является многоугольником.
2. Все эти стороны вместе образуют поверхность куба, то есть поверхность состоит из многоугольников.
3. По определению такая пространственная фигура является многогранником; стороны куба имеют форму квадратов.

Ответ: куб — многогранник, его грани — квадраты.

Задача 2

Сколько граней, рёбер и вершин у прямоугольного параллелепипеда? На рисунке некоторые части могут быть закрыты передними гранями, поэтому нельзя считать только видимые линии. Удобно представить целую коробку и обходить её элементы по порядку.

1. У прямоугольного параллелепипеда три пары противоположных граней: передняя и задняя, верхняя и нижняя, левая и правая. Значит, граней 6.
2. Каждое ребро — общая сторона двух граней. Обходя все стороны коробки, получаем 12 рёбер, в том числе скрытые на рисунке.
3. Углы, в которых встречаются рёбра, — вершины. У фигуры 8 таких углов.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Задача 3

У фигуры 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Может ли это быть куб или прямоугольный параллелепипед? Числа совпадают с числом элементов у обеих фигур, но одних чисел недостаточно для выбора. Нужно проверить ещё и форму граней.

1. Сравним число элементов: и у куба, и у прямоугольного параллелепипеда по 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
2. Если все грани фигуры — квадраты, она может быть кубом. Если грани — прямоугольники, она может быть прямоугольным параллелепипедом.
3. Без сведений о форме граней нельзя установить, какая именно это фигура. Оба варианта подходят по числам.

Ответ: да, это может быть куб или прямоугольный параллелепипед; для точного определения нужно знать форму граней.

Типичные ошибки

Иногда ребром называют любую линию, нарисованную внутри грани. Так происходит, потому что на рисунке вспомогательная линия может выглядеть как граница. Проверь себя: ребро обязательно является общей стороной двух граней, а линия внутри одной грани — нет.

Вершинами порой считают все пересечения линий на изображении. Но линии могут пересекаться на плоском рисунке, хотя в самой фигуре такой точки соединения нет. Проверь, сходятся ли в точке настоящие рёбра многогранника, а не только линии рисунка.

При подсчёте по рисунку можно забыть скрытые рёбра и вершины. Их не видно из-за того, что передняя часть фигуры закрывает заднюю. Представь модель целиком или мысленно обойди её со всех сторон и убедись, что посчитал каждый элемент один раз.

Не всякий предмет с плоскими участками является многогранником. Ошибка возникает, если рассмотреть только одну сторону и не проверить остальную поверхность. Осмотри фигуру целиком: все части её поверхности должны быть плоскими многоугольниками, без округлых участков.

Связь с другими темами

Чтобы изучать многогранники, нужно распознавать многоугольники и различать их стороны и вершины: из таких фигур составлены грани. Площадь и периметр многоугольника пригодятся, когда понадобится измерять отдельные грани и их стороны. Позже понятия граней, рёбер и вершин помогут разбираться в развёртках — плоских заготовках для пространственных фигур — и в их объёме. Поэтому знакомство с плоскими фигурами становится опорой для изучения объёмных тел.

Что запомнить

• Многогранник — пространственная фигура с поверхностью из многоугольников.
• Многоугольники, образующие поверхность, называются гранями.
• Общие стороны двух граней — рёбра многогранника.
• Концы рёбер — вершины.
• У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• На рисунке многогранника часть рёбер может быть скрыта.