2. Многогранники

Определения и обозначения

Многогранник — геометрическое объёмное тело, поверхность которого состоит из многоугольников. В отличие от плоской фигуры, оно занимает часть пространства и имеет длину, ширину и высоту. По устройству поверхности можно понять, какие плоские фигуры образуют тело.

Грань — многоугольник, входящий в состав поверхности многогранника. Например, у куба грани имеют форму квадратов, а у некоторых других тел грани бывают треугольными или пятиугольными. Грани помогают описать, из каких частей построена поверхность.

Ребро — сторона грани, по которой встречаются две соседние грани. Например, у куба два квадрата соседствуют вдоль одной общей стороны, и эта сторона является ребром. По рёбрам можно проследить, как отдельные грани соединяются в целое тело.

Вершина — общая точка нескольких рёбер многогранника. В этой точке сходятся стороны соседних граней. Вершины помогают определить углы и понять, как направлены рёбра относительно друг друга.

Как это устроено

Поверхность многогранника складывается из многоугольников, соединённых сторонами. Если такую поверхность замкнуть, она ограничивает часть пространства — объёмное тело, а не просто плоский рисунок. Например, поверхность куба состоит из шести квадратов и окружает его внутреннюю часть со всех сторон.

Грани не просто лежат рядом: у соседних граней есть общая сторона, то есть ребро. Вдоль ребра поверхность меняет направление, а концы рёбер соединяются с другими рёбрами в вершинах. Так возникает связная замкнутая поверхность, у которой нет свободных сторон, как у незаконченной бумажной оболочки.

Удобно разбирать элементы на примере куба: мысленно обозначьте его верхнюю и нижнюю грани, а затем четыре боковые. Всего получится шесть граней. Чтобы не потерять рёбра, сначала посчитайте четыре на верхней грани, потом четыре на нижней и четыре, соединяющих эти грани; получится двенадцать. Восемь углов куба — его вершины: четыре сверху и четыре снизу.

Рисунок многогранника на листе — это изображение объёмного тела на плоскости, поэтому оно не показывает глубину напрямую. Одни рёбра видны, а другие закрыты гранями; скрытое ребро при этом не исчезает, а остаётся частью модели. Сравнение рисунка с кубиком или другой моделью помогает понять, какие линии обозначают настоящие рёбра и где они проходят.

Если повернуть куб, на рисунке изменится расположение граней: например, другая грань окажется сверху или станет видна сбоку. Однако поворот не создаёт и не убирает части тела, поэтому число граней, рёбер и вершин останется прежним. Меняется только вид тела с выбранной точки, а не его устройство.

Элементы многогранников

Сравнивайте количество элементов, а не внешний вид фигур: у куба и прямоугольного параллелепипеда числа совпадают. Для другого примера возьмём треугольную призму: у неё две треугольные и три прямоугольные грани.

При проверке начните с граней и проследите каждое ребро, в том числе скрытое. Можно отмечать уже посчитанные элементы на рисунке или модели. Так легче избежать пропусков и повторного счёта.

Разбор задач

1. Элементы куба на рисунке

Условие. На рисунке куба назвите грани, рёбра и вершины, обозначенные буквами. Букв на условном примере нет, поэтому разберём, как определять элемент по его положению. Такой способ сработает и для рисунка с любыми буквенными обозначениями.

1. Если буква стоит внутри одной из плоских областей поверхности, назовите её грань. Грань имеет форму многоугольника.
2. Если буква обозначает линию, по которой встречаются две грани, это ребро. Проследите линию до её концов.
3. Если буква стоит у места соединения рёбер, это вершина. Проверьте, что там сходятся именно рёбра тела, а не просто пересекаются линии рисунка.

Ответ. Обозначение на поверхности относится к грани, на общей стороне двух граней — к ребру, а у места соединения рёбер — к вершине. Буквенный ответ зависит от конкретных меток на рисунке.

2. Прямоугольный параллелепипед

Условие. Сколько граней, рёбер и вершин у прямоугольного параллелепипеда? Проверьте ответ по рисунку. На рисунке некоторые линии могут быть скрыты, поэтому нельзя считать только то, что видно.

1. У параллелепипеда есть верхняя и нижняя грани и четыре боковые. Значит, граней 2 + 4 = 6.
2. У верхней и нижней граней по четыре ребра, а ещё четыре ребра соединяют их. Всего 4 + 4 + 4 = 12.
3. У верхней грани четыре вершины и у нижней четыре. Получается 4 + 4 = 8 вершин.

Ответ. У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. При проверке модели найдите и рёбра, закрытые передними гранями на рисунке.

3. Пятиугольная грань и четыре треугольные

Условие. У многогранника 5 граней: одна пятиугольная и четыре треугольные. Сколько у него рёбер и вершин? Сначала проверим не только количество граней, но и возможность замкнуть из них поверхность.

1. У пятиугольной грани пять сторон, а у четырёх треугольных — 4 × 3 = 12 сторон. Всего у всех граней насчитывается 5 + 12 = 17 сторон.
2. У замкнутого многогранника каждое ребро является общей стороной двух граней. Поэтому общее число сторон всех граней должно быть чётным: стороны соединяются попарно.
3. Число 17 нечётное. Значит, стороны этих пяти многоугольников нельзя соединить попарно и получить замкнутую поверхность.

Ответ. Такого замкнутого многогранника не существует, поэтому определить его число рёбер и вершин нельзя. Если имелась в виду пирамида с пятиугольным основанием, у неё пять треугольных боковых граней, а не четыре.

Типичные ошибки

Считать невидимые рёбра отсутствующими. На плоском изображении часть тела закрыта другими гранями, поэтому некоторые рёбра не видны. Такая ошибка возникает, если принимать рисунок за само тело. Сверьтесь с моделью и мысленно обойдите её с разных сторон.

Считать каждое ребро дважды. Ребро является общей стороной двух граней, поэтому при последовательном пересчёте граней можно встретить его повторно. Чтобы этого не произошло, отмечайте уже учтённые рёбра или считайте группы рёбер по расположению. В конце проверьте, не записана ли одна и та же сторона повторно.

Называть гранью всё объёмное тело. Грань — плоский многоугольник на поверхности, а не весь многогранник. Путаница появляется из-за того, что слово «грань» иногда используют в быту в значении стороны предмета. Проверьте себя: грань можно выделить как отдельную плоскую часть поверхности, а многогранник включает их все.

Принимать любое пересечение линий за вершину. На рисунке линии проекции могут пересекаться, хотя соответствующие рёбра не соединяются в теле. Вершиной считается точка, где сходятся рёбра самого многогранника. Чтобы проверить себя, проследите каждую линию и сопоставьте изображение с объёмной моделью.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать многогранники, нужно знать многоугольники, их стороны и вершины, а также узнавать треугольник и прямоугольник. Эти знания помогают увидеть, из каких плоских фигур составлена поверхность объёмного тела. Позже представления о гранях, рёбрах и вершинах пригодятся при изучении развёрток: они показывают поверхность в плоском виде. Понимание устройства поверхности также нужно для вычисления её площади.

Что запомнить

• Поверхность многогранника состоит из многоугольников.
• Многоугольники на поверхности называются гранями.
• Сторона, общая для двух граней, называется ребром многогранника.
• Точки соединения рёбер называются вершинами.
• На плоском рисунке часть рёбер может быть невидна.
• Поворот тела меняет его изображение, но не число граней, рёбер и вершин.