3. Тела вращения

Определения и обозначения

Тело вращения — объёмная фигура, полученная вращением плоской фигуры вокруг прямой. Эта прямая называется осью вращения. Понятие помогает представить, как из простой плоской фигуры возникает объёмное тело.

Цилиндр получается, если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон. У него есть два равных круглых основания и боковая поверхность, которая соединяет их. Это определение позволяет связать размеры прямоугольника с высотой и радиусом цилиндра.

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У конуса одно круглое основание и одна вершина. По способу образования можно понять, какой катет задаёт высоту, а какой — радиус основания.

Шар — тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. Его поверхность называется сферой: шар включает внутренние точки, а сфера состоит только из граничных точек. Это различие нужно, чтобы не путать целое тело с его оболочкой.

Как это устроено

Представь точку плоской фигуры, которая не лежит на оси вращения. Когда фигура поворачивается, точка движется по окружности, а её центр находится на оси. Чем дальше точка от оси, тем больше радиус этой окружности. Все точки фигуры одновременно заметает область пространства, и она становится объёмным телом.

Если вращать прямоугольник вокруг одной стороны, эта сторона остаётся на месте и служит осью. Противоположная ей сторона движется параллельно оси, а остальные точки прямоугольника описывают окружности. В результате образуются два одинаковых круга по краям и поверхность между ними — цилиндр. Длина стороны-оси становится высотой цилиндра, а длина другой стороны равна радиусу оснований, потому что именно на такое расстояние прямоугольник отходит от оси.

У прямоугольного треугольника два катета перпендикулярны, поэтому один из них можно расположить на оси вращения. Этот катет остаётся на месте и становится высотой конуса. Второй катет вращается вокруг оси и прочерчивает круг — основание конуса. Гипотенуза соединяет вершину треугольника с краем основания; при вращении она заметает боковую поверхность, сходящуюся к вершине.

Полукруг вращают вокруг его диаметра, который становится осью. Каждая точка полукруга описывает окружность вокруг этой оси, и вместе эти окружности заполняют шар. Центр шара совпадает с центром исходной окружности: именно середина диаметра служит центром вращения. Наибольшее расстояние от центра до точек шара равно радиусу полукруга, поэтому радиус шара такой же.

У цилиндра, конуса и шара разные исходные фигуры, поэтому различается и то, какие части возникают при вращении. У цилиндра ось проходит вдоль прямоугольника, у конуса — вдоль катета треугольника, а у шара совпадает с диаметром полукруга. Оси помогают определить размеры: расстояние от оси до наиболее удалённого края задаёт радиус, а длина осевой стороны или отрезка задаёт высоту там, где она есть. У шара выделяют центр и радиус, но не основания и высоту как у цилиндра и конуса.

Как получаются основные тела вращения

Пользуйся таблицей, чтобы идти от плоской фигуры к объёмному телу: сначала найди, что вращают, затем определи ось. После этого сопоставь длину осевого отрезка с высотой, а расстояние до края фигуры — с радиусом. У шара вместо оснований и высоты рассматривают центр и радиус.

Разбор задач

1. Прямоугольник и цилиндр

Прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см вращают вокруг стороны длиной 5 см. Какое тело получится и чему равны его высота и радиус основания? Сначала распознаём образующую фигуру: вращение прямоугольника вокруг стороны даёт цилиндр. Затем отделяем длину оси от расстояния до неё.

1. Сторона 5 см служит осью вращения, поэтому она задаёт высоту цилиндра.
2. Другая сторона длиной 3 см отходит от оси до края прямоугольника, значит, она задаёт радиус основания.
3. Получаем цилиндр с высотой 5 см и радиусом 3 см.

Ответ: цилиндр; высота — 5 см, радиус основания — 3 см.

2. Треугольник и два конуса

Прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 7 см вращают сначала вокруг катета 4 см, затем вокруг катета 7 см. Нужно сравнить полученные тела, не принимая катет, который задаёт радиус, за высоту. В обоих случаях вращается один и тот же прямоугольный треугольник, поэтому оба тела — конусы. Меняется ось, а вместе с ней меняются местами высота и радиус основания.

1. При вращении вокруг катета 4 см он становится осью и высотой; катет 7 см задаёт радиус.
2. Первый конус имеет высоту 4 см и радиус основания 7 см.
3. При вращении вокруг катета 7 см высота равна 7 см, а радиус основания — 4 см.
4. Сравнивая конусы, укажи, что один выше, но радиус его основания меньше.

Ответ: получаются два конуса: первый — с высотой 4 см и радиусом 7 см, второй — с высотой 7 см и радиусом 4 см.

3. Определяем тело по изображению

Изображены цилиндр, конус и шар. Для каждого нужно указать фигуру, вращением которой он мог быть получен, и ось вращения. Не стоит выбирать фигуру только по внешнему сходству: нужно проверить, соответствует ли её вращение частям тела. Начни с видимых элементов — оснований, вершины или округлой поверхности.

1. У цилиндра два равных круглых основания, поэтому его получают вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.
2. Сторона прямоугольника, вокруг которой вращают, является осью; она проходит вдоль цилиндра и задаёт его высоту.
3. У конуса одно круглое основание и вершина, значит, подходит прямоугольный треугольник, вращаемый вокруг катета.
4. У шара нет плоских оснований и вершины; он образуется вращением полукруга вокруг диаметра.

Ответ: цилиндр — прямоугольник и его сторона; конус — прямоугольный треугольник и один из катетов; шар — полукруг и его диаметр.

Типичные ошибки

Считать любую объёмную фигуру телом вращения. Это неверно: объём сам по себе не доказывает, что фигуру получили вращением плоской. Ошибку допускают, ориентируясь только на то, что объект занимает место в пространстве. Проверь, можно ли назвать исходную плоскую фигуру и прямую, вокруг которой она вращается.

Путать высоту и радиус. Высота связана с отрезком вдоль оси, а радиус — с расстоянием от оси до края фигуры. Их легко перепутать, если смотреть только на числа и не отмечать ось. Нарисуй направление вращения и проверь, какая длина идёт вдоль оси, а какая — поперёк неё.

Приписывать конусу два основания. Второе круглое основание есть у цилиндра, а конус сужается от одного основания к вершине. Путаница возникает потому, что боковая поверхность на рисунке может напоминать край ещё одного круга. Проверь: у конуса только один плоский круг, а противоположный конец — вершина.

Смешивать шар и сферу. Шар включает внутреннее пространство, тогда как сфера — его поверхность. Их названия часто используют как похожие, но они обозначают разные объекты. Для проверки спроси себя, входят ли в рассматриваемую фигуру точки внутри оболочки: если да, это шар.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в телах вращения, нужно знать, чем окружность отличается от круга, и уметь находить радиус и диаметр. Также пригодятся свойства прямоугольника и прямоугольного треугольника: их стороны становятся осями, высотами и радиусами получаемых тел. Позже эти представления помогут изучать геометрические тела, их развёртки, площадь поверхности и объём. Связь с плоскими фигурами позволяет не просто узнавать объёмные тела, но и представлять, как они устроены.

Что запомнить

• Тело вращения получают вращением плоской фигуры вокруг прямой.
• Прямоугольник при вращении вокруг стороны образует цилиндр.
• Прямоугольный треугольник при вращении вокруг катета образует конус.
• Полукруг при вращении вокруг диаметра образует шар.
• У цилиндра два равных круглых основания.
• У конуса одно круглое основание и одна вершина.
• Шар — тело, сфера — его поверхность.