"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Длину, площадь и объём используют, чтобы описывать размеры отрезков, фигур и тел. Их измеряют сравнением с выбранной единицей: отрезок — с единичным отрезком, площадь — с единичным квадратом, объём — с единичным кубом. Результат состоит из числа и единицы измерения. Число может меняться при переходе к другой единице, а сама величина остаётся той же. Чтобы правильно переводить единицы, для площади учитывают квадрат, а для объёма — куб коэффициента перехода.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина отрезка — величина, которая показывает, насколько отрезок протяжённый. Её находят, сравнивая отрезок с выбранным единичным отрезком: например, выясняют, сколько раз он укладывается на измеряемом отрезке. Длина нужна, чтобы узнавать и сравнивать размеры отрезков, а также расстояния.
Площадь фигуры — величина, характеризующая размер части плоскости, которую занимает фигура. Для её измерения фигуру сравнивают с квадратом выбранной единицы, например квадратом со стороной 1 см. Площадь помогает сравнивать, сколько места занимают фигуры на плоскости.
Объём тела — величина, характеризующая пространство, занимаемое телом. Его измеряют единичными кубами: считают, сколько кубов выбранного размера помещается внутри тела. Объём нужен, чтобы сравнивать вместимость и размеры предметов в пространстве.
Измерение величины — сравнение её с выбранной единицей и выражение результата числом. Число показывает, сколько раз единица содержится в измеряемой величине, а обозначение единицы уточняет, что именно измеряли. Поэтому запись 5 см — это длина, а 5 см² — площадь.
Чтобы получить измерение, сначала выбирают единицу: без неё нельзя понять, что означает число результата. Например, число 4 может обозначать длину в метрах или сантиметрах, и размеры в этих случаях будут разными. При этом сам отрезок не меняется — меняется только число, потому что меняется мерка, с которой его сравнивают. Поэтому запись результата всегда включает и число, и единицу.
При измерении линейкой начало отрезка совмещают с отметкой 0, а затем смотрят, напротив какой отметки находится его конец. Так результат показывает, сколько единиц длины укладывается от начала до конца. Если начало отрезка поставить не на ноль, нужно вычесть показание начала из показания конца. Например, отметки 2 см и 7 см дают длину 7 − 2 = 5 см.
Площадь измеряют квадратами, потому что фигура занимает часть плоскости в двух направлениях. Единичные квадраты мысленно или на практике укладывают так, чтобы покрыть фигуру без промежутков и наложений, и считают их. Объём измеряют кубами по похожей причине: тело занимает пространство в трёх направлениях. Число единичных кубов показывает, сколько таких частей составляет объём тела.
При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается, поскольку в той же величине помещается больше таких единиц; к более крупной — уменьшается. Для площадей и объёмов нельзя просто использовать коэффициент перехода длины: квадрат имеет две стороны, а куб — три измерения. Поэтому коэффициент для площадей возводят в квадрат, а для объёмов — в куб. Например, 1 м = 100 см, значит, 1 м² = 100² см², а 1 м³ = 100³ см³.
В записи 3 м 8 см две части выражены в разных единицах, поэтому для перевода их сначала приводят к одной мерке. Поскольку 1 м = 100 см, 3 м — это 300 см, а вместе с 8 см получится 308 см. Для обратного перевода 475 см удобно выделить полные сотни сантиметров: 400 см = 4 м, остаётся 75 см. Так получают запись 4 м 75 см.
| Величина | Что измеряют | Основные единицы | Связь между единицами |
|---|---|---|---|
| Длина отрезка | Протяжённость | мм, см, дм, м, км | 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм |
| Площадь фигуры | Размер части плоскости | мм², см², дм², м², км² | 1 м² = 100 дм² = 10 000 см² |
| Объём тела | Занимаемое пространство | мм³, см³, дм³, м³ | 1 дм³ = 1000 см³; 1 м³ = 1000 дм³ |
Сначала определи, какая величина измеряется, а затем выбери строку с её единицами. При переводе длины используй обычное соотношение единиц, для площади — его квадрат, для объёма — куб. Так таблица помогает не перепутать, например, сантиметры и квадратные сантиметры.
Задача 1. Выразить 3 м 8 см в сантиметрах и 475 см в метрах и сантиметрах. В обеих частях нужно заменить большую единицу меньшей или выделить полные большие единицы. Используем соотношение 1 м = 100 см.
Ответ: 3 м 8 см = 308 см; 475 см = 4 м 75 см. Остаток после выделения метров записывается в сантиметрах.
Задача 2. Сколько квадратных сантиметров в 2 дм²? Выразить 36 000 см³ в кубических дециметрах. Здесь нельзя переносить коэффициент длины без изменений: для площадей его нужно возвести в квадрат, а для объёмов — в куб.
Ответ: 2 дм² = 200 см²; 36 000 см³ = 36 дм³. Проверка: в более мелких кубических сантиметрах числовое значение объёма больше.
Задача 3. Прямоугольная площадка имеет размеры 12 м и 8 м. Найти её площадь и выразить ответ в квадратных дециметрах. Сначала найдём площадь в квадратных метрах, потому что стороны заданы в метрах, а затем переведём её в требуемые единицы.
Ответ: площадь площадки равна 96 м², или 9600 дм². При переходе к меньшим квадратным единицам число стало больше в 100 раз.
Записывают число без единицы измерения, например указывают только 12. Такую запись допускают, когда сосредоточены на вычислении, но по ней непонятно, получены метры, квадратные метры или что-то другое. Проверяй, указана ли после числа подходящая единица: м, м² или м³.
При переводе квадратных единиц используют коэффициент для длины и считают, что 1 м² = 100 см². Ошибка возникает из-за того, что помнят равенство 1 м = 100 см, но не учитывают обе стороны квадрата. Для проверки возведи коэффициент в квадрат: 100² = 10 000, значит, 1 м² = 10 000 см².
При переводе кубических единиц умножают на коэффициент в квадрате, а не в кубе. Это происходит, если применить правило для площади к объёму, хотя у куба три измерения. Проверь число направлений: для кубических единиц коэффициент нужно возвести в третью степень, например 1 дм³ = 10³ см³.
Складывают или сравнивают величины, записанные в разных единицах, не приводя их к одной. Например, нельзя складывать 2 м и 30 см как числа 2 и 30, потому что единицы разного размера. Перед действием переведи обе величины в метры или сантиметры и проверь, что единицы совпадают.
Для работы с измерениями пригодятся натуральные числа и десятичные дроби: с их помощью записывают результаты и выполняют переводы единиц. Также нужно знать единицы длины и отношения между ними, например 1 м = 100 см. Эти умения позволяют измерять отрезки и записывать их длину.
Измерение длины понадобится при изучении периметра, а измерение площади — при вычислении размеров плоских фигур. Понимание объёма поможет описывать тела и решать задачи об их вместимости. Во многих практических задачах нужно не только найти величину, но и правильно перевести ответ в требуемые единицы.
Почему при измерении длины результат зависит от выбранной единицы?
Длина отрезка не меняется, но её сравнивают с единичным отрезком. Чем меньше выбранная единица, тем больше таких единиц укладывается в измеряемом отрезке. Например, одна и та же длина равна 1 м или 100 см.
Чем отличается измерение площади от измерения длины?
Длину сравнивают с единичным отрезком, а площадь — с единичным квадратом. Чтобы измерить площадь, выясняют, сколько таких квадратов покрывает фигуру без промежутков и наложений. Поэтому для площади используют квадратные единицы.
Почему 1 м² равен 10 000 см², а не 100 см²?
В одном метре 100 сантиметров, но квадратный метр имеет две стороны длиной по 1 м. Значит, он содержит 100 × 100 квадратов со стороной 1 см. Поэтому 1 м² = 10 000 см².
Как понять, умножать или делить при переводе единиц?
Сначала выясни, сколько меньших единиц помещается в одной большей. При переходе к меньшим единицам число умножают, а при переходе к большим — делят. Для квадратных и кубических единиц коэффициент перехода сначала возводят соответственно в квадрат или куб.
Можно ли складывать величины, записанные в разных единицах?
Сначала величины нужно выразить в одинаковых единицах. Например, метры и сантиметры можно сложить, если перевести их в сантиметры или метры. Иначе числа относятся к разным размерам единиц, и результат будет неверным.
§ 3. Геометрические величины и их измерение.
