"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Длина, площадь и объём помогают описывать размеры отрезков, фигур и тел. Чтобы измерить величину, её сравнивают с выбранной единицей: результат записывают числом вместе с этой единицей. Длину измеряют линейкой или другой шкалой, площадь считают в квадратных единицах, а объём — в кубических. При переводе единиц длины соседние значения различаются в 10 раз, площади — в 100, объёма — в 1000. Перед вычислениями все измерения приводят к согласованным единицам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Измерение величины — это сравнение величины с выбранной единицей измерения. Результат записывают числом и единицей, например 7 см. Число показывает, сколько раз единица укладывается в измеряемой величине, поэтому без единицы запись неполная.
Длина — величина, которая характеризует протяжённость отрезка. Её измеряют в миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах и других единицах. Длина нужна, чтобы сравнивать отрезки и описывать размеры предметов или расстояний.
Площадь — величина, характеризующая размер части плоскости, которую занимает фигура. Площадь выражают в квадратных единицах, например в см² или м². Она помогает сравнивать, сколько места на плоскости занимают разные фигуры.
Объём — величина, которая показывает, какую часть пространства занимает тело. Его выражают в кубических единицах, например в см³ или дм³. Объём нужен, чтобы сравнивать размеры тел и определять, сколько места они занимают.
Одного числа для результата измерения недостаточно: оно зависит от того, какую единицу выбрали. Например, длина 1 м и длина 1 см записаны одинаковым числом, но обозначают разные расстояния. Единица сообщает масштаб измерения, поэтому число и единицу всегда записывают вместе.
При измерении отрезка линейкой начало шкалы совмещают с одним его концом, а у второго конца считывают число. Если отрезок начинается не у нулевой отметки, находят разность показаний у его концов. Нужно учитывать цену деления — значение одного промежутка между соседними отметками. Для небольших предметов удобны миллиметры и сантиметры, а для длинных расстояний — метры и километры.
Площадь можно представить как количество одинаковых квадратов, которыми покрыта фигура без промежутков и наложений. Сторона такого квадрата задаёт единицу длины, а весь квадрат — квадратную единицу площади. Прямоугольник со сторонами 4 см и 3 см покрывается 4 рядами по 3 квадрата площадью 1 см²; всего это 12 квадратов. Поэтому площадь прямоугольника находят умножением длин его сторон.
Кубическая единица — это объём куба, ребро которого равно выбранной единице длины. Например, 1 дм³ — объём куба с ребром 1 дм. Чтобы представить объём прямоугольного параллелепипеда, его можно заполнить одинаковыми кубиками: число кубиков зависит от того, сколько их помещается вдоль длины, ширины и высоты. Поэтому объём находят умножением этих трёх измерений.
При переходе между соседними единицами площади коэффициент равен 100, потому что квадратная единица складывается из двух измерений: например, в квадрате 1 см² по каждой стороне помещается по 10 отрезков длиной 1 мм, а всего получается 10 · 10 = 100 квадратов 1 мм². Для объёма учитывают уже три измерения: в кубе по каждому направлению помещается по 10 кубиков меньшего размера, поэтому их 10 · 10 · 10 = 1000. Так объясняется, почему длина меняется в 10 раз, площадь — в 100, а объём — в 1000 раз.
| Величина | Обозначение | Основные единицы | Связь соседних единиц |
|---|---|---|---|
| Длина | l | мм, см, дм, м, км | 1 см = 10 мм; 1 м = 10 дм |
| Площадь | S | мм², см², дм², м², км² | 1 см² = 100 мм²; 1 м² = 100 дм² |
| Объём | V | мм³, см³, дм³, м³ | 1 см³ = 1000 мм³; 1 м³ = 1000 дм³ |
Пользуйся таблицей, чтобы выбрать единицу и проверить коэффициент перевода. При переходе к меньшей единице число увеличивается, а к большей — уменьшается. Для площади и объёма нельзя применять коэффициент длины без возведения в квадрат или куб.
Задача 1. Длина отрезка на линейке равна 7 см. Запишите её в миллиметрах. Нужно перейти от сантиметров к более мелкой единице, поэтому численное значение увеличится. В одном сантиметре содержится 10 миллиметров.
Запишем соотношение единиц: 1 см = 10 мм. Оно показывает, что каждый сантиметр заменяется десятью миллиметрами.
Умножим число сантиметров на 10: 7 · 10 = 70. Так мы найдём, сколько миллиметров составляют семь сантиметров.
Запишем результат вместе с новой единицей измерения. Получаем 70 мм.
Ответ: 70 мм.
Задача 2. Длина прямоугольника равна 8 см, ширина — 5 см. Найдите площадь и выразите её в квадратных миллиметрах. Сначала удобно найти площадь в квадратных сантиметрах, поскольку обе стороны даны в сантиметрах. Затем переведём результат в мм² с учётом того, что соседние единицы площади отличаются в 100 раз.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины: S = 8 · 5 = 40 см². Получили квадратные сантиметры, так как перемножили две длины, выраженные в сантиметрах.
Используем соотношение 1 см² = 100 мм². Значит, каждый из 40 квадратных сантиметров содержит 100 квадратов площадью 1 мм².
Переведём площадь: 40 · 100 = 4000 мм². Проверка: при переходе к меньшей единице число должно увеличиться.
Ответ: 4000 мм².
Задача 3. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2 м, 30 см и 4 дм. Найдите его объём в кубических дециметрах. Перед умножением выразим все рёбра в дециметрах, потому что ответ требуется получить в дм³. Если перемножить числа с разными единицами напрямую, произведение будет истолковано неверно.
Переведём метры в дециметры: 1 м = 10 дм, значит, 2 м = 20 дм. Переведём сантиметры: 1 дм = 10 см, значит, 30 см = 3 дм.
Третье ребро уже выражено в дециметрах и равно 4 дм. Теперь все измерения согласованы: 20 дм, 3 дм и 4 дм.
Найдём объём: V = 20 · 3 · 4 = 240. При перемножении трёх длин в дециметрах получаем кубические дециметры.
Ответ: 240 дм³.
Записывать только число. Например, запись «5» не сообщает, измерена ли длина в сантиметрах или метрах. Такую ошибку допускают, когда считают единицу неважной; проверь себя: у каждого результата измерения должна быть подписана единица.
Переводить площадь по правилу для длины. Умножение на 10 подходит для соседних единиц длины, но не площади. Ошибка возникает, если забыть, что площадь связана с двумя измерениями; проверь соотношение на квадрате: 1 см² = 100 мм².
Переводить объём с коэффициентом 100. Для кубических единиц нужен коэффициент 1000, потому что куб имеет три измерения. Чтобы проверить перевод, представь куб с ребром 1 дм: в него помещается 10 · 10 · 10 кубиков по 1 см³.
Перемножать измерения в разных единицах. Например, нельзя просто перемножить 2 м, 30 см и 4 дм, если требуется ответ в дм³. Так делают ради скорости, но результат сложно правильно истолковать; перед вычислением проверь, что все измерения выражены в одной единице.
Для работы с величинами понадобятся сравнение натуральных чисел и дробей, умножение и деление. Измерять длину помогает умение пользоваться линейкой и читать шкалу, то есть определять значение отметок. Измерения длины и площади пригодятся при изучении периметра, площадей фигур и перевода единиц.
Понимание объёма понадобится при решении задач о прямоугольном параллелепипеде. Кубические единицы связаны с темами вместимости и расхода материалов: они помогают оценить, сколько пространства занимает тело или сколько материала нужно для заполнения объёма.
Почему результат измерения нельзя записать только числом?
Число показывает, сколько раз единица измерения укладывается в величине. Без единицы нельзя понять, измеряли ли мы сантиметры, метры или что-то другое.
Как понять, какую единицу длины лучше выбрать?
Выбирай единицу, с которой удобнее записать и представить результат. Длину карандаша обычно выражают в сантиметрах, расстояние между городами — в километрах.
Почему при переходе от квадратных сантиметров к квадратным миллиметрам коэффициент равен 100?
В одном сантиметре 10 миллиметров, а квадратный сантиметр — это квадрат со стороной 1 см. В нём помещаются 10 рядов по 10 квадратов со стороной 1 мм, то есть 100 мм².
Чем квадратный сантиметр отличается от сантиметра?
Сантиметр — единица длины, а квадратный сантиметр — единица площади. Один квадратный сантиметр равен площади квадрата со стороной 1 см.
Почему перед вычислением объёма измерения приводят к одной единице?
Формула объёма перемножает длину, ширину и высоту, поэтому все три величины должны быть выражены в одной единице. Иначе произведение чисел не даст объём в выбранных кубических единицах.
1. Измерение величин. Длина, площадь, объем
