"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Угол образуют два луча с общим началом, а его величину измеряют в градусах. Для измерения и построения углов используют транспортир: его центр совмещают с вершиной, а нулевую отметку — с одной стороной. Нужно правильно выбрать шкалу и отсчитать деление, у которого проходит вторая сторона. Градусная мера зависит от раскрытия угла, а не от длины его сторон.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называют вершиной угла, а сами лучи — его сторонами. Вершину часто обозначают буквой, например O, а стороны записывают как лучи OA и OB. Эти названия помогают точно указать угол и понять, между какими направлениями его измеряют.
Градус — единица измерения углов, её обозначают знаком °. Один градус составляет одну девяностую часть прямого угла: если прямой угол разделить на 90 равных частей, каждая будет равна 1°. Градусы позволяют выражать величину угла числом и сравнивать разные углы. Например, запись 45° означает угол в сорок пять градусов.
Градусная мера угла — число градусов, которое показывает величину угла. Её записывают рядом с числом знаком °, например 70°. По градусной мере можно определить, какой угол больше, и проверить, насколько раскрыты его стороны. Длина лучей в эту запись не входит: значение показывает только величину поворота между ними.
Транспортир — чертёжный инструмент для измерения и построения углов. На нём есть основание, центр и шкала с делениями, обычно от 0° до 180°; отметки часто нанесены в двух направлениях. Центр помогает правильно расположить инструмент у вершины, а шкала показывает градусную меру. Две шкалы нужны, чтобы можно было вести отсчёт от любого конца основания.
Полный угол соответствует одному полному обороту вокруг точки. Его условились делить на 360 равных частей, и каждую такую часть назвали градусом. Это деление возникло исторически: число 360 удобно тем, что делится на многие числа, поэтому с ним проще выполнять вычисления и делить круг на части. Если разделить полный угол на четыре равные части, каждая будет прямой и составит 90°.
Чтобы транспортир показывал угол относительно его вершины, сначала нужно правильно расположить сам инструмент. Центр шкалы ставят точно на вершину угла, а основание транспортира совмещают с одной из сторон. Так начало отсчёта оказывается именно в вершине, откуда расходятся лучи. Если центр смещён, деления будут показывать поворот относительно другой точки, а не нужный угол.
Когда транспортир установлен, нужно определить, у какого деления проходит вторая сторона. Сначала найди нулевую отметку, совпавшую с первой стороной, и следи за делениями, которые увеличиваются от неё. Число у второй стороны и будет градусной мерой угла. Например, если луч проходит через отметку 40°, угол равен 40°.
На транспортире обычно две шкалы, потому что сторона угла может совпасть как с левым, так и с правым концом основания. Если начать отсчёт от противоположного нуля, можно прочитать другое число, хотя инструмент не сдвинулся. Поэтому ориентируйся не на то, какая шкала расположена выше, а на отметку 0°, лежащую на стороне угла. Проверь себя: отсчёт должен идти от этой стороны к другой.
Чтобы построить угол заданной меры, сначала проводят один луч — он станет первой стороной. Затем центр транспортира совмещают с началом луча, а сам луч — с нулевой отметкой. От нужного нуля находят деление с заданным числом градусов и ставят там точку. Через вершину и эту точку проводят второй луч: он образует с первым угол требуемой меры.
| Вид угла | Сравнение с прямым углом | Градусная мера |
|---|---|---|
| Острый угол | Меньше прямого | Меньше 90° |
| Прямой угол | Равен прямому | 90° |
| Тупой угол | Больше прямого | Больше 90°, но меньше 180° |
| Развёрнутый угол | Равен двум прямым | 180° |
Сначала сравни градусную меру с 90°, а затем, если угол больше прямого, проверь, меньше ли она 180°. Так можно определить вид угла по результату измерения. Для развёрнутого угла стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны.
Конкретный чертёж в условии не задан, поэтому численную меру заранее назвать нельзя. Нужно определить, какое деление совпадает со второй стороной угла. Выполним измерение по порядку и прочитаем значение шкалы.
Запишите число градусов, соответствующее этому делению. Перед записью проверьте, что отсчёт начинался именно от нуля на стороне угла. Ответ: градусная мера равна числу градусов у второй стороны на выбранной шкале.
Нужно провести две стороны так, чтобы между ними было 65°. Удобнее сначала задать одну сторону, а затем отметить направление второй транспортиром. Важно отсчитывать деления от нуля, который совпадает с первым лучом.
Проверьте расположение отметки: угол должен быть острым, так как 65° меньше 90°. Если отметка оказалась с другой стороны луча, построение всё равно возможно, но второй луч нужно провести именно через неё. Ответ: построен угол величиной 65°.
Луч OC делит исходный угол на две части, значит, их меры в сумме дают 124°. Одна часть равна 57°, поэтому неизвестную часть найдём вычитанием. После этого сравним результат с 90°.
Проверка: 57° + 67° = 124°, то есть обе части составляют исходный угол. Ответ: второй угол равен 67°, он острый.
Центр транспортира ставят рядом с вершиной, а не точно на неё. Так бывает, если торопиться или ориентироваться только на внешний вид чертежа; смещение меняет отсчёт. Проверь себя: отметка центра должна совпасть с точкой, где сходятся стороны угла.
Нулевую отметку не совмещают со стороной угла, а лишь прикладывают к ней край инструмента. Тогда шкала не измеряет раскрытие именно этого угла, даже если вершина оказалась на месте. Перед отсчётом проверь оба совмещения: центр у вершины, сторона на нуле. Если сторона не проходит по основанию, поправь положение транспортира.
При двух шкалах читают деления от противоположной отметки 0°. Похожие цифры и зеркальное расположение шкал легко сбивают с толку, из-за чего вместо нужной меры выбирают другое число. Проверь, какой ноль совпадает со стороной, и проследи, что значения увеличиваются от него к другой стороне. Результат также можно прикинуть: острый угол должен быть меньше 90°.
Градусную меру путают с длиной сторон: считают, что длинные лучи образуют больший угол. Такая мысль возникает, если сравнивать размеры рисунков, а не направление лучей. Проверка простая: продли стороны или укороти их, не меняя направления, — величина угла останется прежней. Сравнивай раскрытие между лучами, а не длину проведённых линий.
Перед измерением полезно уметь распознавать луч, вершину и стороны угла. Сравнение на глаз помогает оценить результат, а наложение позволяет понять, какой угол больше, даже без чисел. Эти способы дают представление о величине угла, а транспортир помогает выразить её точно. Вместе они позволяют обнаруживать ошибки измерения.
Измерение углов нужно при построении геометрических фигур и изучении треугольников. Оно помогает чертить фигуры с заданными свойствами и находить неизвестные углы по известным. В задачах на сумму углов части складывают или вычитают из общей меры. Поэтому навык работы с транспортиром пригодится и в черчении, и при решении геометрических задач.
Почему полный угол разделили именно на 360 градусов?
Такое деление сложилось исторически: в древности число 360 было удобным для вычислений, потому что делится на многие числа. Поэтому полный оборот приняли равным 360°, а одну его часть — одним градусом. Для измерений важно договориться об общей единице.
Как понять, по какой шкале транспортира нужно считать?
Найди ту отметку 0°, которая лежит на стороне угла, совмещённой с основанием транспортира. Считай деления от этого нуля в сторону второй стороны. Если начать от противоположного нуля, получится неверное значение.
Что делать, если сторона угла короче, чем шкала транспортира?
Продли луч карандашом, сохраняя то же направление. Градусная мера от этого не изменится: важен поворот между сторонами, а не их длина. Затем измерь угол обычным способом.
Можно ли измерить угол, если его вершина не помещается в центр транспортира?
Для точного измерения центр инструмента должен совпасть с вершиной. Если чертёж неудобно расположен, можно аккуратно перерисовать угол или продлить его стороны так, чтобы вершина оказалась доступна. Не следует просто ставить центр рядом: это исказит отсчёт.
Почему у углов с разной длиной сторон может быть одинаковая градусная мера?
Мера угла показывает, насколько повернута одна сторона относительно другой. Если этот поворот одинаков, углы равны, даже когда длины лучей различаются. Поэтому удлинение или укорочение сторон не меняет угол.
2. Измерение углов. Транспортир
