§ 4. Симметрия фигур.

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование, при котором точка переходит в точку, симметричную ей относительно прямой. Проще говоря, прямая служит зеркалом: по обе стороны от неё оказываются соответствующие точки фигуры. Это понятие нужно, чтобы описывать отражение и точно строить его, а не полагаться только на взгляд.

Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура симметрична сама себе. Если мысленно отразить фигуру через эту прямую, её части совпадут. Ось помогает распознать симметрию фигуры и проверить, одинаково ли расположены её части.

Центральная симметрия — преобразование, при котором точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданной точки. Образ находится на продолжении прямой, проходящей через исходную точку и центр, но по другую сторону от центра. Это понятие позволяет строить фигуры, перевёрнутые вокруг заданной точки.

Центр симметрии — точка, относительно которой фигура симметрична сама себе. При таком преобразовании центр оказывается серединой отрезка между любой точкой фигуры и её образом. Это определение помогает и проверить фигуру, и правильно построить для неё центрально-симметричную копию.

Как это устроено

При осевой симметрии точка и её образ лежат на одном перпендикуляре к оси и равноудалены от неё. Это следует из того, что ось должна делить отрезок между ними пополам под прямым углом: только тогда отражение оставляет все точки самой оси на месте и меняет стороны местами. Поэтому расстояние до оси измеряют не по произвольному направлению, а именно по перпендикуляру. Если точки расположены не так, они не могут быть парой при отражении.

Чтобы построить точку, симметричную A относительно прямой l, сначала нужно определить кратчайшее расстояние от A до l. Его показывает перпендикуляр: наклонный отрезок был бы длиннее и не задавал бы правильного отражения. Проведи перпендикуляр из A до пересечения с l, а затем продолжи его за прямую. От точки пересечения отложи на продолжении отрезок той же длины, что и отрезок от A до l; конец и будет образом A.

При центральной симметрии центр O является серединой отрезка, соединяющего точку с её образом. Значит, обе части отрезка по разные стороны от O равны, а сами точки лежат на одной прямой с центром. Это условие и даёт способ построения: проведи прямую через исходную точку и O, затем отложи за O равное расстояние. Если образ уже построен правильно, отрезок между точкой и образом можно разделить пополам и получить центр.

Фигура симметрична относительно прямой или точки, когда соответствующее преобразование переводит в неё всю фигуру. Недостаточно, чтобы совпала одна вершина или отдельная часть: нужно, чтобы каждому элементу фигуры соответствовал элемент, который после отражения или центральной симметрии попадает на место внутри той же фигуры. Именно поэтому проверяют положение всех вершин и сторон. Если хотя бы одна часть после преобразования оказывается снаружи или не совпадает с другой, симметрии нет.

У одной фигуры может быть несколько осей симметрии, а у другой — ни одной; то же относится к центрам симметрии. Каждую возможную прямую или точку проверяют отдельно: преобразование должно совмещать с фигурой её образ целиком. Например, наличие одной оси не означает, что есть и другие оси или центр. Поэтому симметрию нельзя определять только по внешнему впечатлению.

Сравнение осевой и центральной симметрии

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить, что задано: прямая или точка. Затем проверь положение точки и её образ и выбери подходящий способ построения. Для фигуры всегда проверяй, совмещается ли она целиком со своим образом.

Разбор задач

Постройте точку, симметричную точке A относительно прямой l.

Нужно получить точку A′ по другую сторону от l так, чтобы l была серединным перпендикуляром к отрезку AA′. Это значит, что отрезок AA′ должен пересекать l под прямым углом, а расстояния от A и A′ до l должны быть одинаковыми. Поэтому начнём с перпендикуляра: именно по нему измеряется нужное расстояние.

1. Проведи через A перпендикуляр к прямой l и обозначь точку пересечения как H.
2. Измерь отрезок AH. На продолжении прямой AH за l отметь точку A′ так, чтобы HA′ = AH.
3. Проверь построение: H лежит на l, а отрезки AH и HA′ равны и перпендикулярны l.

Равные расстояния по одну и другую сторону от l показывают, что A и A′ — зеркальная пара. Перпендикулярность подтверждает, что расстояние до оси измерено верно. Ответ: точка A′, построенная на продолжении перпендикуляра за l на расстоянии AH от точки H.

Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки O.

Треугольник задаётся тремя вершинами, поэтому достаточно построить образ каждой вершины. Для каждой пары исходной вершины и образа точка O должна быть серединой соединяющего их отрезка. После этого образы нужно соединить в том же порядке, что и исходные вершины.

1. Обозначь вершины исходного треугольника A, B и C.
2. Проведи прямые AO, BO и CO. На каждой прямой отметь по другую сторону от O точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедини A′, B′ и C′ отрезками в том же порядке, что и A, B и C.
4. Проверь, что O — середина каждого из отрезков AA′, BB′ и CC′.

Такой порядок сохраняет соответствие вершин: A переходит в A′, B — в B′, C — в C′. Когда все три вершины построены правильно, стороны исходного треугольника переходят в стороны нового. Ответ: треугольник A′B′C′.

Определите, какие оси симметрии и центр симметрии имеет прямоугольник, и обоснуйте ответ.

У прямоугольника противоположные стороны попарно равны, а углы прямые. Проверим сначала отражение: если провести прямую через середины двух противоположных сторон, части по разные стороны поменяются местами и совместятся. Таких прямых две — они проходят через середины противоположных сторон. Диагонали прямоугольника в общем случае осями не являются: отражение относительно диагонали поменяло бы местами углы разной величины, если прямоугольник не квадрат.

1. Проведи прямые через середины каждой пары противоположных сторон. Каждая делит прямоугольник на равные зеркальные половины.
2. Проверь точку пересечения диагоналей O. Она делит каждую диагональ пополам, поэтому при центральной симметрии вершины попарно переходят в противоположные вершины.
3. Убедись, что стороны и вся фигура при таком преобразовании совмещаются с собой.

Ответ: у прямоугольника две оси симметрии — прямые через середины противоположных сторон; центр симметрии — точка пересечения диагоналей. Проверка отражением и поворотом на 180° помогает обосновать оба вывода: при повороте на 180° вокруг этой точки прямоугольник совмещается сам с собой.

Типичные ошибки

Ось симметрии не обязана проходить через вершину: иногда она проходит через середины сторон, а иногда вообще не пересекает отдельные стороны. Ошибка возникает, если искать ось только среди линий, проведённых через углы. Проверяй не пересечение с вершинами, а совпадение фигуры с отражённой копией. Например, у прямоугольника оси проходят через середины противоположных сторон.

При осевой симметрии недостаточно отложить такое же расстояние в произвольном направлении. Равные расстояния от точки и образа до оси измеряются по перпендикуляру, потому что именно этот отрезок делится осью пополам под прямым углом. Ошибку допускают, когда измеряют расстояние вдоль наклонной линии. Для проверки проведи перпендикуляр к оси: обе точки должны лежать на нём и быть равноудалены от оси.

При центральной симметрии центр не является серединой отрезка от исходной точки до самого центра: это отрезок между исходной точкой и её образом. Путаница появляется потому, что в обоих построениях участвует заданный центр. Проведи прямую через точку и центр, отметь образ за центром и сравни расстояния до него. Центр должен оказаться ровно посередине между двумя точками.

Нельзя называть любую прямую осью, а любую точку центром симметрии фигуры. Даже если отдельные элементы расположены похоже, преобразование должно переводить в фигуру её целиком. Эту ошибку допускают, проверяя только одну пару точек. Построй или мысленно найди образы всех частей: если хотя бы одна не совпала с частью исходной фигуры, выбранная прямая или точка не подходит.

Связь с другими темами

Для построений симметричных точек нужно уметь проводить перпендикуляр, находить середину отрезка и измерять расстояния. Эти действия опираются на уже знакомые геометрические построения и помогают не только чертить, но и проверять ответ. Позже симметрия пригодится при изучении геометрических преобразований и свойств многоугольников. Она также помогает замечать закономерности в фигурах и предметах вокруг нас.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось перпендикулярна отрезку, соединяющему точку и её образ.
• Точка и её образ при осевой симметрии равноудалены от оси.
• При центральной симметрии центр — середина отрезка между точкой и её образом.
• Фигура симметрична, если преобразование переводит её в саму себя.
• У фигуры может быть несколько осей симметрии или не быть ни одной.
• Осевая и центральная симметрия — разные преобразования.