"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пространственные фигуры — это тела, которые занимают место в пространстве и имеют длину, ширину и высоту. Среди них есть многогранники: их поверхность складывается из плоских многоугольников. Научившись находить грани, рёбра и вершины, можно описывать строение куба, параллелепипеда и пирамиды. Чертёж помогает представить тело на листе, но передаёт его форму условно: поэтому важно различать реальные свойства фигуры и то, как она выглядит на рисунке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пространственная фигура — фигура, которая занимает часть пространства и имеет длину, ширину и высоту. В отличие от плоской фигуры, она не лежит целиком на одном листе или одной плоскости. В геометрии её рассматривают как целое тело и изучают его форму и части. Это понятие помогает описывать реальные предметы, например коробку или пирамиду.
Многогранник — пространственная фигура, поверхность которой составлена из многоугольников. Каждый такой многоугольник соединён с соседними по сторонам, поэтому вместе они образуют оболочку тела. К многогранникам относятся куб и пирамида. Это определение позволяет отличить их от тел с округлой поверхностью, например шара.
Грань — многоугольник, который является частью поверхности многогранника; ребро — отрезок, по которому встречаются две грани; вершина — точка, где сходятся рёбра. Значит, грань — целая плоская часть поверхности, а ребро и вершина обозначают её границы и места соединения. Эти названия нужны, чтобы точно описывать устройство тела и считать его элементы.
Изображение пространственной фигуры — чертёж, который передаёт форму тела на плоскости. Объёмный предмет нельзя полностью показать на плоском листе без условностей, поэтому некоторые части выглядят иначе, чем в действительности. Изображение помогает представить фигуру и разбирать её строение, но не заменяет саму фигуру.
У куба поверхность образована шестью квадратами: каждая квадратная часть — отдельная грань, а соседние квадраты соединяются по сторонам. У прямоугольного параллелепипеда тоже шесть граней, но это прямоугольники; у пирамиды есть основание и треугольные боковые грани. Так плоские многоугольники складываются в оболочку, потому что их стороны соединены и не оставляют между гранями разрывов. Если мысленно развернуть оболочку, можно увидеть те же многоугольники отдельно.
Чтобы найти элементы многогранника, сначала выбери одну грань и проследи её границы. Её стороны являются рёбрами, а концы этих сторон — вершинами; затем переходи к соседним граням. Одно ребро принадлежит двум граням, потому что именно по этой общей стороне они соединяются. Поэтому при подсчёте нельзя считать одно и то же ребро заново для каждой из двух граней.
На листе объёмное тело изображают в перспективе: ближние части показывают так, чтобы была заметна глубина. Из-за этого параллельные рёбра могут казаться непараллельными, а равные в настоящем теле отрезки — выглядеть по-разному. Это происходит потому, что чертёж передаёт трёхмерную форму на плоскости и не сохраняет все расстояния и углы. Поэтому рисунок помогает представить тело, но по нему нельзя без дополнительных данных заключать, что отрезки действительно разной длины.
Чтобы рисунок можно было правильно прочитать, видимые рёбра обычно проводят сплошными линиями, а закрытые гранями — пунктиром. Пунктир сообщает, что ребро находится за видимой поверхностью, а не отсутствует. Такой приём особенно полезен, когда нужно показать заднюю часть куба или параллелепипеда. Если на схеме есть пунктир, его тоже учитывают при подсчёте элементов.
Соотноси рисунок с самим телом так: вершины на схеме соответствуют угловым точкам тела, а рёбра соединяют эти точки. Грани на объёмном рисунке выглядят как многоугольные участки, ограниченные рёбрами. Некоторые участки могут быть видны целиком, а другие — скрыты или показаны только с помощью пунктирных линий. Мысленно проследив соединения, можно понять, какие части чертежа образуют одну грань и как они расположены в пространстве.
| Фигура | Форма граней | Число граней | Число рёбер | Число вершин |
|---|---|---|---|---|
| Куб | Квадраты | 6 | 12 | 8 |
| Прямоугольный параллелепипед | Прямоугольники | 6 | 12 | 8 |
| Треугольная пирамида | Треугольники | 4 | 6 | 4 |
Сначала найди форму граней, затем сверяй числа рёбер и вершин с таблицей. Она помогает проверить результат, но сама по себе не заменяет подсчёт на чертеже. У прямоугольного параллелепипеда отдельные грани могут быть квадратами, если его размеры это позволяют.
Задача 1. На рисунке изображён куб. Назвать его грани, рёбра и вершины. Чтобы не запутаться, будем обозначать вершины буквами и считать элементы не по внешнему виду, а по их соединениям. Куб состоит из шести квадратных граней, поэтому удобно называть их по вершинам.
Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; их названия перечислены в решении. При работе с другим рисунком буквы могут быть расположены иначе, но число и связи элементов куба останутся теми же.
Задача 2. Изобразить прямоугольный параллелепипед и отметить невидимые рёбра. Нужно нарисовать тело так, чтобы на плоском листе были заметны три его измерения. При этом не следует пытаться точно передать все длины и углы на рисунке.
Ответ: прямоугольный параллелепипед изображён как две соединённые прямоугольные грани; закрытые рёбра проведены пунктиром. Такой способ помогает распознать тело и отличить видимую часть от скрытой.
Задача 3. По изображению многогранника определить число граней, рёбер и вершин. Чтобы получить надёжный ответ, будем учитывать не только то, что видно сразу, но и скрытые элементы. Проверим результат последовательным обходом и сверкой связей.
Ответ: числа граней, рёбер и вершин зависят от изображённого многогранника. Их получают по спискам, составленным при обходе, и подтверждают проверкой соединений; без конкретного чертежа назвать численные значения нельзя.
Считать длины и углы на чертеже точными. Ученик может принять видимое различие отрезков за различие в самой фигуре, потому что рисунок кажется похожим на обычную геометрическую схему. Но при передаче объёма на плоскость пропорции и углы могут измениться. Проверяй, заданы ли размеры в условии, и не делай выводов только по внешнему виду.
Путать грань и ребро. Иногда гранью называют линию на рисунке, потому что она заметнее всего. На самом деле грань — целый многоугольник, а ребро — его сторона, общая с соседней гранью. Для проверки спроси себя: можно ли назвать элемент многоугольником или это только отрезок?
Считать только видимые рёбра. Скрытые от наблюдателя отрезки легко пропустить, если смотреть лишь на сплошные линии. На чертеже их обычно обозначают пунктиром, но даже если пунктир плохо заметен, ребро остаётся частью тела. Перед ответом осмотри заднюю часть фигуры и учти все скрытые линии.
Учитывать общий элемент несколько раз или пропустить его. При обходе двух граней можно дважды записать их общее ребро, а при быстром подсчёте — вовсе забыть его. Это происходит, когда элементы считают по граням, не ведя общего списка. Обозначай вершины и записывай каждое ребро один раз, сверяя список с чертежом.
Для изучения многогранников нужны знания о плоских фигурах: многоугольнике, его сторонах и вершинах, а также об отрезке. Благодаря им можно распознать грани и понять, как они соединены. Дальше представления о гранях и рёбрах пригодятся при изучении развёрток: развёртка показывает поверхность тела в расправленном виде. Эти же элементы помогают разбираться в вычислении площади поверхности и объёма тел.
Чем пространственная фигура отличается от плоской?
Плоская фигура расположена на плоскости и имеет длину и ширину. Пространственная фигура занимает часть пространства и имеет также высоту или глубину.
Что называют гранью, ребром и вершиной многогранника?
Грань — многоугольник на поверхности многогранника, а ребро — общая сторона двух его граней. Вершина — точка, в которой сходятся рёбра.
Почему невидимые рёбра на рисунке проводят пунктиром?
Такие рёбра закрыты от наблюдателя гранями, поэтому их не видно при обычном взгляде на тело. Пунктир показывает, что ребро существует, хотя оно скрыто.
Можно ли измерять стороны и углы пространственной фигуры прямо по её изображению?
Нет, изображение передаёт форму условно, и его длины или углы могут не совпадать с настоящими. Измерять нужно по данным задачи или по самой фигуре, а не по чертежу.
Как не ошибиться при подсчёте граней, рёбер и вершин?
Обходи элементы в установленном порядке и отмечай уже посчитанные, например буквами или мысленно. Не забывай про закрытые рёбра и общие элементы: каждое ребро и каждую вершину нужно учитывать только один раз.
1. Пространственные фигуры и их изображение
