§ 2. Геометрические фигуры в пространстве

Определения и обозначения

Многогранник — пространственная фигура, поверхность которой состоит из многоугольников. Например, куб и пирамида являются многогранниками, а конус — нет: у него есть кривая поверхность. Это определение помогает проверить, подходит ли фигура к многогранникам, по устройству всей её поверхности.

Грань — многоугольник, который входит в поверхность многогранника. Например, квадратная сторона куба — одна из его граней. Грани вместе ограничивают фигуру: если смотреть на тело с разных сторон, мы видим отдельные части его поверхности.

Ребро — отрезок, по которому пересекаются две грани. У куба ребро — это общая сторона двух соседних квадратов. Оно принадлежит обеим граням, потому что именно по этому отрезку их поверхности соприкасаются.

Вершина — точка, в которой сходятся рёбра многогранника. В вершине встречаются несколько граней, а их стороны заканчиваются или соединяются в этой точке. Понятие вершины нужно, чтобы правильно находить и считать элементы фигуры, не принимая точку за отрезок или целую поверхность.

Как это устроено

Плоская фигура целиком расположена на плоскости, например на поверхности листа, а пространственная занимает часть окружающего нас пространства. На плоском рисунке нельзя передать глубину так же, как в реальности, поэтому изображение показывает объём условно. Обычно видимые рёбра рисуют сплошными линиями, а скрытые — пунктиром. Пунктир не означает, что ребра нет: он только помогает понять, какая часть фигуры закрыта от взгляда.

У многогранника поверхность собирается из многоугольников, соединённых сторонами. Если две грани соседние, у них есть общая сторона, которая становится ребром фигуры. В местах, где встречаются рёбра, находятся вершины. Так части поверхности образуют замкнутую оболочку: грани ограничивают тело, рёбра соединяют грани, а вершины задают точки соединения рёбер.

У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. При этом у него могут быть грани разной формы по размеру: например, длина и ширина основания не обязаны совпадать. Куб — частный случай такого тела: его грани являются равными квадратами. Квадрат тоже считается прямоугольником, поэтому куб сохраняет устройство прямоугольного параллелепипеда, но имеет дополнительное свойство — все его рёбра равны.

Призму можно узнать по двум основаниям: это равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований, поэтому получается тело с двумя одинаковыми «торцами». У пирамиды основание только одно, а боковые грани — треугольники. Они сходятся в одной общей вершине, и именно это устройство отличает пирамиду от призмы.

Цилиндр, конус и шар не являются многогранниками, потому что у них есть кривые части поверхности. У цилиндра боковая поверхность искривлена, у конуса она сужается к вершине, а поверхность шара закруглена во всех направлениях. Грань многогранника должна быть многоугольником, то есть плоской фигурой с прямыми сторонами. Поэтому нельзя считать любую часть поверхности гранью многогранника.

Пространственные фигуры и их элементы

В таблице сравниваются основания и боковые поверхности разных тел. Сначала найдите строку нужной фигуры, затем проверьте, из каких частей состоит её поверхность. Если поверхность содержит кривые части, фигура не относится к многогранникам.

Слова «основание» и «боковая поверхность» помогают описывать устройство призмы, пирамиды и тел вращения. Для прямоугольного параллелепипеда и куба в таблице указано число оснований в обычном описании: две противоположные грани можно выбрать как основания.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке прямоугольного параллелепипеда укажите одну грань, одно ребро и одну вершину. Букв на рисунке может не быть, поэтому ответ можно дать, описав положение каждого элемента. Главное — не назвать один и тот же элемент разными словами.

1. Найдём целую плоскую часть поверхности, например верхнюю прямоугольную сторону: это грань.
2. Выберем одну из сторон этой грани, например её передний край: это ребро, общее для двух граней.
3. Укажем конец выбранного ребра, например его левую переднюю точку: это вершина.
4. Проверим, что назвали именно многоугольник, отрезок и точку, а не три отрезка или три поверхности.

Ответ: грань — верхняя прямоугольная сторона; ребро — её передний край; вершина — левый передний конец этого ребра. На рисунке с буквами элементы можно обозначить буквами, но порядок распознавания останется тем же. Названия зависят от того, как именно изображён параллелепипед.

Задача 2. Сколько граней, рёбер и вершин у куба? Объясним подсчёт так, чтобы не пропустить части, скрытые на рисунке. Для удобства представим куб как две одинаковые квадратные грани, соединённые соответствующими сторонами.

1. У куба есть передняя и задняя грани, а также верхняя, нижняя, левая и правая. Всего получается 6 граней.
2. На передней грани 4 ребра, и на задней тоже 4. Ещё 4 ребра соединяют соответствующие вершины этих граней, значит, всего 12 рёбер.
3. У передней грани 4 вершины и у задней 4. Эти точки разные, поэтому всего 8 вершин.
4. Если часть рёбер на рисунке показана пунктиром, добавим их к подсчёту: они скрыты, но принадлежат кубу.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Такой способ подсчёта удобен, потому что он разбивает фигуру на переднюю и заднюю части. Пунктирные линии при этом не теряются из виду.

Задача 3. Определите, какие из изображённых тел являются многогранниками, и обоснуйте ответ для призмы, конуса и шара. Чтобы решить задачу, нужно проверить поверхность, а не только общий силуэт. Ориентируемся на определение многогранника.

1. У призмы поверхность состоит из многоугольных оснований и боковых многоугольных граней. Значит, призма — многогранник.
2. У конуса есть кривая боковая поверхность, поэтому вся его поверхность не составлена из многоугольников. Конус не является многогранником.
3. У шара поверхность закруглена и не состоит из плоских многоугольников. Следовательно, шар тоже не является многогранником.
4. Для остальных тел из задания применим ту же проверку: выясним, состоят ли все части поверхности из многоугольников.

Ответ: призма является многогранником, конус и шар — нет. Основание конуса само по себе может быть кругом, но наличие основания не отменяет кривую боковую поверхность. Учитывать нужно всю поверхность тела.

Типичные ошибки

Иногда ребро называют гранью, потому что на рисунке оба элемента видны и кажутся частями поверхности. Но грань занимает область и является многоугольником, а ребро — только отрезок, его сторона. Чтобы проверить себя, спросите: «Я называю целую плоскую часть или её край?» Если это край, перед вами ребро.

Пунктирные рёбра могут показаться отсутствующими, ведь на рисунке они не видны так же хорошо, как сплошные линии. На самом деле пунктиром обычно показывают скрытые части той же фигуры. Перед подсчётом проверьте, какие рёбра должны соединять вершины с противоположной стороны. Если убрать пунктир из подсчёта, элементов окажется меньше, чем у самого тела.

Куб иногда считают фигурой, не связанной с прямоугольным параллелепипедом. Это происходит потому, что его грани выглядят как квадраты, а не как прямоугольники. Однако квадрат является прямоугольником, а куб отличается тем, что все его грани равны и квадратны. Проверьте определение: если грани — прямоугольники и выполнены дополнительные условия куба, это частный случай прямоугольного параллелепипеда.

Цилиндр или конус могут назвать многогранником, если любую поверхность принимают за грань. Но грани многогранника обязательно должны быть многоугольниками, а кривую поверхность нельзя составить из таких плоских частей. Чтобы проверить ответ, мысленно обойдите всю поверхность тела, а не рассматривайте только его основание или контур. Если найдётся кривая часть, тело не является многогранником.

Связь с другими темами

Для изучения пространственных фигур нужно уметь узнавать многоугольники на плоскости и различать их стороны и вершины. Это помогает увидеть, из каких частей собрана поверхность многогранника. Чертежи требуют внимательно читать линии и понимать, что некоторые рёбра могут быть скрыты. Позже эти же представления пригодятся при изучении развёрток, площади поверхности и объёма тел.

Что запомнить

• Многогранник ограничен многоугольными гранями.
• Грань — многоугольник, ребро — отрезок, вершина — точка.
• У двух соседних граней есть общее ребро.
• Куб — прямоугольный параллелепипед с равными квадратными гранями.
• У призмы два равных параллельных основания.
• У пирамиды одно основание, а боковые грани сходятся в общей вершине.