"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
В треугольнике можно провести медианы, биссектрисы и высоты, а к его сторонам — серединные перпендикуляры. У каждого вида линий есть особая точка пересечения, связанная с важным свойством: например, центр вписанной окружности равноудалён от сторон, а центр описанной — от вершин. Эти свойства помогают строить окружности и решать задачи о расстояниях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Чтобы провести медиану, сначала находят середину стороны, а затем соединяют её с противоположной вершиной. Так можно разделить треугольник на две части, связанные с одной и той же стороной.
Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, проведённый от вершины до противоположной стороны. Биссектриса угла делит его на два равных угла, поэтому при построении нужно разделить пополам именно угол при вершине. Эта линия пригодится, когда нужно найти центр вписанной в треугольник окружности.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Высота может лежать вне треугольника или частично проходить по продолжению его стороны, поэтому проверяют перпендикулярность прямых, а не только положение отрезка внутри фигуры.
Серединный перпендикуляр к стороне — прямая, перпендикулярная этой стороне и проходящая через её середину. Любая точка такой прямой находится на одинаковом расстоянии от концов стороны. Это свойство позволяет искать точку, которая одинаково удалена сразу от всех вершин треугольника.
У каждого треугольника три медианы, и все они пересекаются в одной точке. Чтобы найти её, достаточно построить две медианы: их пересечение и будет общей точкой, а третья медиана тоже пройдёт через неё. Такое пересечение не случайно: медианы связаны с серединами сторон и уравновешивают части треугольника. Точка делит каждую медиану так, что отрезок от вершины вдвое длиннее отрезка от точки пересечения до середины стороны, то есть отношение равно 2:1.
Биссектрисы трёх углов пересекаются внутри треугольника. Точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла: если из неё опустить перпендикуляры на обе стороны, получившиеся расстояния будут равны. Поэтому точка пересечения биссектрис равноудалена от всех трёх сторон треугольника. Если взять это расстояние за радиус, окружность с центром в найденной точке коснётся каждой стороны изнутри; это центр вписанной окружности.
Серединный перпендикуляр к стороне состоит из точек, равноудалённых от концов этой стороны. Если построить такие прямые хотя бы для двух сторон, их пересечение будет одинаково удалено от концов каждой из этих сторон. Значит, оно равноудалено от всех трёх вершин. Через эту точку можно провести окружность, а расстояния до вершин будут её радиусами. Так находят центр описанной окружности — окружности, проходящей через все три вершины.
Высота из вершины всегда перпендикулярна прямой противоположной стороны, но её основание может оказаться на продолжении стороны. У остроугольного треугольника все высоты проходят внутри него, поэтому ортоцентр, точка их пересечения, тоже внутри. У прямоугольного две высоты совпадают с катетами, и пересекаются они в вершине прямого угла. У тупоугольного пересекаются продолжения некоторых высот, поэтому ортоцентр лежит вне треугольника.
Эти четыре линии различаются тем, откуда и как их проводят: медиану — к середине стороны, биссектрису — через угол, высоту — под прямым углом к противоположной стороне, а серединный перпендикуляр — через середину стороны. Их точки пересечения отвечают на разные вопросы. Для центра вписанной окружности ищут пересечение биссектрис, потому что его расстояния до сторон равны; для центра описанной — пересечение серединных перпендикуляров, потому что оно равноудалено от вершин.
| Линия или точка | Как построить | Что известно о точке пересечения | Где расположена |
|---|---|---|---|
| Медианы и точка пересечения медиан | Соединить вершины с серединами противоположных сторон | Делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины | Внутри треугольника |
| Биссектрисы и центр вписанной окружности | Провести биссектрисы углов | Равноудалена от сторон | Внутри треугольника |
| Серединные перпендикуляры и центр описанной окружности | Провести перпендикуляры к сторонам через их середины | Равноудалена от вершин | Внутри остроугольного, на стороне прямоугольного или вне тупоугольного треугольника |
| Высоты и ортоцентр | Из вершин опустить перпендикуляры на противоположные стороны или их продолжения | Общая точка высот или их продолжений | Внутри остроугольного, в вершине прямого угла прямоугольного, вне тупоугольного треугольника |
Сначала определи, какое свойство требуется найти: отношение частей медианы, равные расстояния до сторон или равные расстояния до вершин. Затем выбери соответствующую линию и проверь положение точки по виду треугольника. Таблица помогает не перепутать центры двух окружностей и ортоцентр.
Задача 1. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Постройте медиану из вершины A и найдите её длину, если AM = 6 см. Здесь слово «середина» сразу указывает, что точка M подходит для определения медианы. Длина отрезка уже дана, поэтому дополнительных вычислений не потребуется.
Ответ: медиана — AM, её длина 6 см.
Задача 2. Точка O — точка пересечения биссектрис треугольника. Расстояние от O до одной стороны равно 3 см. Найдите расстояние от O до двух других сторон. Точка O лежит на биссектрисах углов, поэтому она равноудалена от сторон каждого угла. Это свойство распространяется на все три стороны треугольника и позволяет сразу определить неизвестные расстояния.
Ответ: по 3 см до каждой из двух других сторон.
Задача 3. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке G. На медиане AM от вершины A до точки G — 8 см. Найдите длины AG и GM. Сначала нужно уточнить, что именно дано: фраза означает длину отрезка AG, а не всей медианы AM. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1 от вершины, поэтому AG — две равные доли, а GM — одна такая доля.
Ответ: AG = 8 см, GM = 4 см.
Ошибка: называть медианой отрезок от вершины к любой точке противоположной стороны. Так бывает, когда забывают условие о середине и ориентируются лишь на то, что отрезок выходит из вершины. Проверь себя: точка на противоположной стороне должна делить её на две равные части.
Ошибка: считать, что биссектриса обязательно делит противоположную сторону пополам. Вероятно, путают слово «пополам» с определением медианы; у биссектрисы пополам делится угол. Чтобы проверить построение, сравни два угла при вершине, а не части противоположной стороны.
Ошибка: проводить высоту только внутри треугольника. Это кажется естественным, если представлять лишь остроугольную фигуру, но у тупоугольного треугольника перпендикуляр иногда попадает на продолжение стороны. Проверь, проведена ли высота под прямым углом к нужной прямой, даже если её основание снаружи.
Ошибка: путать центр вписанной и описанной окружностей. Оба являются точками пересечения линий, проведённых в треугольнике, поэтому их свойства легко перепутать. Проверь, что именно измеряют: центр вписанной окружности равноудалён от сторон, а центр описанной — от вершин.
Для построения этих линий нужно уметь находить середину отрезка, строить перпендикуляр и делить угол пополам. Эти действия опираются на уже знакомые понятия геометрии и помогают точнее изображать треугольники. Свойства замечательных точек применяют при построении вписанной и описанной окружностей, а также в задачах на расстояния. Так изучение линий связывает построения с другими элементами треугольника.
Чем медиана отличается от высоты?
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Высота проводится из вершины перпендикулярно прямой, на которой лежит противоположная сторона; её основание не обязано быть серединой.
Обязательно ли биссектриса проходит через середину противоположной стороны?
Нет. Биссектриса делит угол при вершине на два равных угла, а противоположную сторону пересекает в общем случае не посередине.
Почему точка пересечения медиан делит медиану именно в отношении 2:1?
Это свойство треугольника: точка пересечения медиан лежит на каждой медиане так, что часть от вершины вдвое длиннее части от середины стороны. Поэтому при известной длине всей медианы её можно разделить на три равные доли: две принадлежат отрезку от вершины.
Где находится центр описанной окружности у прямоугольного треугольника?
Он находится в середине гипотенузы — стороны, лежащей напротив прямого угла. Эта точка равноудалена от всех трёх вершин, поэтому радиусы окружности до вершин равны.
Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника?
Да. У тупоугольного треугольника ортоцентр, то есть точка пересечения высот или их продолжений, лежит вне треугольника. У остроугольного он внутри, а у прямоугольного совпадает с вершиной прямого угла.
4. Замечательные точки в треугольнике
