2. Классификация геометрических фигур

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек плоскости или пространства. Фигуры могут отличаться формой и размером: например, два квадрата имеют одинаковую форму, но могут быть разной величины. Понятие фигуры помогает описывать геометрические объекты и сравнивать их.

Классификация геометрических фигур — распределение фигур по группам на основании выбранных общих признаков. Например, фигуры можно объединить по числу сторон или по тому, есть ли у них прямые углы. Классификация нужна, чтобы упорядочивать фигуры и изучать свойства каждой группы.

Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Ломаная состоит из соединённых отрезков: эти отрезки называют сторонами, а точки их соединения — вершинами. По сторонам и вершинам можно определить, к какому виду относится многоугольник.

Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя сторонами. У него четыре вершины, соединённые сторонами в замкнутую ломаную. Это частный случай многоугольника: у всех четырёхугольников есть общие признаки многоугольников, но не каждый многоугольник имеет четыре стороны.

Как это устроено

Чтобы классифицировать фигуры, сначала выбирают признак, по которому их будут сравнивать. Например, если важно число сторон, фигуры можно разделить на треугольники, четырёхугольники и многоугольники с большим числом сторон. Если признак не назвать, непонятно, почему фигуры оказались в одной группе и можно ли включить туда другие.

По одному признаку фигуры распределяются одним способом, а по другому — иначе. К примеру, сначала можно найти все четырёхугольники, а затем среди них отметить фигуры с прямым углом. Это происходит потому, что у каждой фигуры есть сразу несколько свойств, и каждое из них может стать основанием для отдельной классификации.

Классы фигур могут быть вложены друг в друга: всякий четырёхугольник является многоугольником, но не всякий многоугольник — четырёхугольник. Более узкая группа получается, когда к признакам широкой группы добавляют ещё одно условие: у четырёхугольника должно быть ровно четыре стороны. Поэтому принадлежность к частной группе не отменяет принадлежности к общей.

При классификации нужно проверять определяющие признаки, а не только внешний вид или привычное положение фигуры на рисунке. Например, наклонённый четырёхугольник не перестаёт быть четырёхугольником: его стороны по-прежнему нужно пересчитать. Рисунок может быть изображён не в привычном положении или не совсем точно, поэтому надёжнее опираться на свойства.

Если фигура удовлетворяет признакам нескольких групп, её можно отнести к каждой из них. Например, четырёхугольник с прямым углом входит и в группу четырёхугольников, и в группу фигур с прямыми углами. Группы не всегда взаимоисключающие: это зависит от того, какие признаки выбраны для классификации.

Классы геометрических фигур и признаки, по которым их выделяют

Сначала прочитай признак, затем проверь его у каждой фигуры: посчитай стороны или найди нужный угол. Последний столбец помогает увидеть, какие группы являются частными случаями более общей группы. Одна фигура может встретиться в нескольких строках, если подходит под признаки каждой из них.

Разбор задач

Задача 1

Распредели данные фигуры на многоугольники и фигуры, не являющиеся многоугольниками. Объясни выбор. Проверим, ограничена ли каждая фигура замкнутой ломаной. Замкнутость означает, что конец ломаной соединён с её началом.

1. Рассмотрим каждую фигуру и выясним, состоит ли её граница из отрезков.
2. Проверим, соединяются ли отрезки в ломаную и замыкается ли она.
3. Фигуры, прошедшие обе проверки, отнесём к многоугольникам; остальные — к фигурам, не являющимся многоугольниками.

Ответ: многоугольники ограничены замкнутой ломаной; фигуры с незамкнутой границей или с границей не из отрезков к ним не относятся. Объяснение выбора опирается на определение, а не на сходство с привычной картинкой. Если граница плохо видна, нужно внимательно проследить её целиком.

Задача 2

Среди нескольких многоугольников найди треугольники и четырёхугольники, затем укажи, какие фигуры относятся к каждой группе. Здесь признак — число сторон, поэтому форму и наклон фигур учитывать не нужно. Сначала выделим общую группу многоугольников, а затем разделим её на группы по числу сторон.

1. Для каждого многоугольника последовательно посчитаем стороны, не пропуская ни одной.
2. Фигуры с тремя сторонами запишем в группу треугольников, а с четырьмя — в группу четырёхугольников.
3. Проверим, что все найденные фигуры уже входят в группу многоугольников, а другие многоугольники не попали в эти две группы без основания.

Ответ: треугольники имеют по три стороны, четырёхугольники — по четыре; обе группы входят в класс многоугольников. Подсчёт сторон важнее того, кажется ли фигура похожей на треугольник или четырёхугольник. Так мы одновременно определяем вид фигуры и видим связь частных групп с общей.

Задача 3

Сгруппируй набор фигур по двум признакам: числу сторон и наличию прямого угла. Может ли одна фигура оказаться в двух группах? У каждой фигуры проверим оба свойства отдельно, поскольку они отвечают на разные вопросы. Например, число сторон показывает вид многоугольника, а прямой угол — ещё одно свойство этой же фигуры.

1. Подсчитаем стороны у каждой фигуры и распределим её в группу с нужным числом сторон.
2. Отдельно проверим, есть ли у фигуры угол, равный прямому, и внесём её в соответствующую группу.
3. Сопоставим результаты: если фигура подходит под оба признака, оставим её в обеих группах.

Ответ: одна фигура может относиться сразу к двум группам, например быть четырёхугольником и фигурой с прямым углом. Противоречия здесь нет, так как группы выделены по разным свойствам. Перед распределением важно точно определить, что считать признаком каждой группы.

Типичные ошибки

Ошибка — считать фигуру треугольником или четырёхугольником только по внешнему сходству, не пересчитав стороны и вершины. Так поступают, если ориентируются на привычное изображение и не замечают лишнюю или незамкнутую линию. Проверь себя: проследи границу по порядку и пересчитай стороны и точки их соединения.

Ошибка — думать, что четырёхугольник не является многоугольником. Так бывает, если частный вид воспринимают как отдельную группу, не связанную с общей. Проверь себя: сравни определения — четырёхугольник ограничен замкнутой ломаной, значит, обладает признаком многоугольника.

Ошибка — распределять фигуры по неоговорённому признаку, из-за чего группы получаются непонятными или неполными. Причина в том, что разные свойства можно выбирать одновременно, и без уточнения границы группы неясны. Проверь себя: перед распределением сформулируй признак и убедись, что он применён ко всем фигурам одинаково.

Ошибка — считать, что фигура может принадлежать только одной группе. Такое мнение возникает, когда любую классификацию принимают за разделение на непересекающиеся части. Проверь себя: рассмотри признаки каждой группы по отдельности — фигура может соответствовать нескольким, например быть четырёхугольником с прямым углом.

Связь с другими темами

Для классификации пригодятся знания о точке, отрезке, ломаной и угле. Нужно уметь считать стороны и вершины, чтобы точно определять вид многоугольника, а также распознавать прямой угол. Эти понятия помогают проверять свойства фигуры, а не полагаться на её вид.

Классификация служит основой для изучения видов треугольников и четырёхугольников. Когда группы определены, легче сравнивать их свойства и замечать, какие признаки у фигур общие. Это помогает выбирать подходящий способ решения геометрической задачи.

Что запомнить

• Фигуры классифицируют по общим признакам.
• Признак классификации нужно называть явно.
• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• Треугольник и четырёхугольник — виды многоугольников.
• Одна фигура может подходить под несколько признаков.
• Внешний вид рисунка не заменяет проверку свойств.