8.2. Геометрические фигуры в пространстве

Определения и обозначения

Геометрическая фигура в пространстве — фигура, которую рассматривают в трёх измерениях: длине, ширине и высоте. Например, у коробки есть длина и ширина основания, а ещё высота. Это определение помогает отличать объёмные предметы от фигур, нарисованных на плоскости.

Многогранник — пространственная фигура, поверхность которой состоит из многоугольников. Многоугольник — это плоская фигура, ограниченная отрезками, например треугольник или прямоугольник. По форме поверхности можно понять, относится ли предмет к многогранникам.

Грань многогранника — многоугольник, составляющий часть его поверхности. Например, у куба гранями являются квадраты, а у прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. Название «грань» позволяет точно указать, из каких плоских фигур составлена поверхность тела.

Ребро и вершина многогранника — соответственно общая сторона двух граней и точка, в которой сходятся рёбра. Ребро можно представить как отрезок, а вершину — как его конец, где встречаются другие рёбра. Эти понятия нужны, чтобы описывать и считать части фигуры, не путая отрезки и точки.

Как это устроено

Плоскую фигуру можно нарисовать на листе: для её описания достаточно длины и ширины. Пространственная фигура занимает место не только в стороны, но и вверх или вниз, поэтому к двум измерениям добавляется высота. Именно поэтому рисунок объёмного предмета на листе показывает его лишь условно, а не передаёт все измерения по-настоящему.

Поверхность многогранника складывается из плоских многоугольников, соединённых друг с другом. Каждый такой многоугольник ограничивает отдельную часть поверхности, поэтому его и называют гранью. Если бы между гранями были промежутки, поверхность фигуры не была бы цельной; у многогранника соседние грани соединяются сторонами.

Когда две грани соединяются, их общая сторона становится ребром многогранника. На концах этих отрезков встречаются другие рёбра — так образуются вершины. Благодаря такому устройству грани не лежат отдельно: они соединены в одну фигуру, и каждую сторону или точку можно рассматривать как часть целого.

Куб и прямоугольный параллелепипед похожи: оба являются многогранниками, у каждого шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. У куба все грани — одинаковые квадраты, а у прямоугольного параллелепипеда грани — прямоугольники, причём не обязательно квадраты. Куб можно считать особым случаем прямоугольного параллелепипеда, у которого все размеры одинаковы.

У цилиндра, конуса и шара есть поверхности, которые изгибаются, а не состоят только из многоугольников. У цилиндра и конуса есть также плоские части — основания, но одной их наличия недостаточно, чтобы назвать всё тело многогранником. Для многогранника вся поверхность должна быть составлена из многоугольников, поэтому тела с кривой поверхностью к нему не относятся.

Пространственные фигуры и их основные признаки

Сначала посмотрите на форму поверхности: если она целиком состоит из многоугольников, перед вами многогранник. Затем определите форму и число граней, если фигура многогранная. Для цилиндра, конуса и шара таблица показывает, почему нельзя искать у них набор многоугольных граней.

Разбор задач

Куб, мяч и банка

Рассмотрите куб, мяч и банку. Нужно определить, какие предметы изображают многогранники, а какие имеют кривую поверхность. Не достаточно посмотреть только на плоские части предмета: нужно проверить всю поверхность.

1. У куба поверхность состоит из квадратов. Каждый квадрат — многоугольник, поэтому куб является многогранником.
2. Поверхность мяча изгибается и не складывается из многоугольников. Значит, мяч изображает шар с кривой поверхностью.
3. У обычной банки есть плоские круглые основания и изогнутая боковая поверхность. Поэтому она похожа на цилиндр, а не на многогранник.

Ответ: куб — многогранник; мяч и банка имеют кривую поверхность.

Грани, рёбра и вершины куба

Нужно найти и посчитать основные части куба. Чтобы не пропустить элементы, удобно сначала считать грани, а затем отдельно проследить за рёбрами и вершинами. Помните, что на изображении некоторые рёбра могут быть закрыты.

1. У куба шесть квадратных граней: верхняя, нижняя, передняя, задняя, левая и правая. Проверка: у куба по три пары противоположных граней.
2. У каждой грани четыре стороны, но при подсчёте нельзя просто сложить все стороны: каждое ребро принадлежит двум граням. У куба получается двенадцать разных рёбер.
3. Посчитайте угловые точки, где сходятся рёбра. Их восемь; скрытые на рисунке точки тоже учитываются.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Сравнение куба и прямоугольного параллелепипеда

Сравните модели и найдите сначала общие признаки, затем отличия. Оба тела имеют плоские грани, соединённые рёбрами, поэтому относятся к многогранникам. Сравнивать их удобнее по форме граней, а не только по тому, как они выглядят с одного ракурса.

1. У куба и прямоугольного параллелепипеда по шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. В обоих случаях поверхность составлена из прямоугольников, если считать квадрат частным видом прямоугольника.
2. У куба все грани — одинаковые квадраты. У прямоугольного параллелепипеда грани — прямоугольники, и они могут иметь разную форму и размер.
3. Проверьте длины сторон граней: если все грани квадратные и равные, перед вами куб. Если грани прямоугольные, но не все стороны одинаковы, это прямоугольный параллелепипед.

Ответ: фигуры похожи строением и числом основных элементов; различаются формой граней и соотношением размеров.

Типичные ошибки

Ошибка: называть гранью любую видимую часть рисунка. Так происходит, потому что на плоском изображении объёмной фигуры можно принять участок картинки за отдельную часть поверхности. Проверьте себя: грань должна быть многоугольником на поверхности самого многогранника, а не просто закрашенной областью рисунка.

Ошибка: путать ребро и вершину. Их часто называют вместе, поэтому кажется, что это похожие элементы, но ребро — отрезок, а вершина — точка. Чтобы проверить себя, спросите: можно ли указать у элемента длину? Если да, это ребро; если это место встречи рёбер, это вершина.

Ошибка: считать, что на рисунке показаны все рёбра и грани. Передняя часть фигуры может закрывать задние элементы, поэтому некоторые из них не видны. Мысленно проследите форму тела сзади и снизу: скрытые рёбра остаются частью фигуры и иногда изображаются пунктиром.

Ошибка: считать цилиндр или конус многогранником. У них есть плоские основания, и из-за этого можно забыть про боковую поверхность. Проверьте всю поверхность целиком: если хотя бы её часть кривая и не составлена из многоугольников, фигура не является многогранником.

Связь с другими темами

Для изучения пространственных фигур нужно уметь узнавать плоские фигуры и знать, что такое многоугольник и его стороны. Тогда проще понять, из каких частей сложена поверхность многогранника. Грани, рёбра и вершины помогают описывать строение тела, а позже понадобятся при изучении площади поверхности и объёма. Такие представления применяют в геометрических задачах и используют, чтобы описывать предметы вокруг нас.

Что запомнить

• Пространственные фигуры рассматривают в трёх измерениях.
• Многогранник имеет поверхность, составленную из многоугольников.
• Многоугольники на поверхности многогранника называются гранями.
• Общие стороны граней — рёбра.
• Точки, в которых сходятся рёбра, — вершины.
• У тел с кривой поверхностью поверхность не состоит только из многоугольников.