"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Её измеряют квадратными единицами: квадратными сантиметрами, дециметрами и метрами. Если известны длины соседних сторон прямоугольника, площадь можно найти умножением, а площадь прямоугольного треугольника с такими же катетами будет в два раза меньше. В этой теме важно научиться переводить квадратные единицы, выбирать подходящие единицы для вычисления и записывать ответ так, чтобы он показывал именно площадь, а не длину или периметр.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь — величина, которая показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Площадь обычно обозначают большой буквой S. Чтобы её измерить, выбирают квадрат-единицу и считают, сколько таких квадратов покрывают фигуру.
Квадратный сантиметр, квадратный дециметр и квадратный метр — это площади квадратов со стороной соответственно 1 см, 1 дм и 1 м. Их обозначают см², дм² и м²; маленькая цифра 2 означает, что единица относится к площади квадрата. Эти единицы помогают выражать площадь небольших и больших предметов.
Площадь прямоугольника находят как произведение длин двух его соседних сторон. Формула записывается так: S = ab, где S — площадь, а a и b — длины сторон прямоугольника. Она нужна, чтобы быстро узнать площадь, не пересчитывая каждый квадрат внутри фигуры.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника с такими же катетами. Катеты — стороны треугольника, которые образуют прямой угол; формула имеет вид S = ab : 2. Деление на 2 показывает, что треугольник занимает половину такого прямоугольника.
В одном дециметре помещается 10 сантиметров, но для площади нужно учитывать обе стороны квадрата. Если квадрат со стороной 1 дм разделить на квадраты со стороной 1 см, вдоль каждой стороны получится по 10 маленьких квадратов. Всего будет 10 рядов по 10 квадратов, то есть 100 квадратов по 1 см².
Поэтому 1 дм² = 100 см², а не 10 см²: число 10 относится к переводу длины, а число 100 — к площади. По той же причине квадрат со стороной 1 м содержит 10 рядов по 10 квадратных дециметров, значит, 1 м² = 100 дм². Единицы площади как бы складываются из двух измерений длины, поэтому при переходе к соседней более крупной единице число квадратных единиц уменьшается в 100 раз.
Представь прямоугольник, заполненный одинаковыми квадратами. Если в каждом ряду помещается a квадратов, а рядов всего b, то общее число квадратов равно a × b. Поэтому площадь прямоугольника находят умножением его соседних сторон, выраженных в одной единице.
Возьми два одинаковых прямоугольных треугольника и приложи их друг к другу по наклонной стороне. Вместе они образуют прямоугольник, а его стороны равны катетам исходного треугольника. Значит, площадь двух треугольников равна ab, а площадь одного — ab : 2.
Сначала реши, какая единица удобна для измерения фигуры, и проверь, в одинаковых ли единицах записаны стороны. Затем подставь длины в подходящую формулу и выполни вычисления. Если стороны измерялись в сантиметрах, результат площади будет в квадратных сантиметрах; единица в ответе должна соответствовать единице сторон.
| Что рассматриваем | Связь или формула | Что обозначают величины |
|---|---|---|
| Квадратные сантиметры и квадратные дециметры | 1 дм² = 100 см² | Дециметр и сантиметр — единицы длины, квадратные единицы — площади |
| Квадратные дециметры и квадратные метры | 1 м² = 100 дм² | При переводе в соседнюю более мелкую единицу число увеличивается в 100 раз |
| Площадь прямоугольника | S = ab | a и b — соседние стороны, S — площадь |
| Площадь прямоугольного треугольника | S = ab : 2 | a и b — катеты, S — площадь треугольника |
Сначала найди в таблице нужную связь или формулу, затем проверь, какие величины обозначены буквами. При переводе единиц смотри на направление: от крупной единицы к мелкой число увеличивается, а обратно — уменьшается.
Переведи 5 дм² в квадратные сантиметры и 700 см² в квадратные дециметры. Для обоих переводов используем равенство 1 дм² = 100 см². В первом случае переходим к более мелким квадратным единицам, а во втором — к более крупным.
Ответ: 5 дм² = 500 см²; 700 см² = 7 дм². Проверка направления помогает не перепутать действия: в см² число стало больше, а в дм² — меньше.
Найди площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Стороны уже записаны в одинаковых единицах, поэтому переводить их не требуется. Площадь найдём по формуле S = ab, потому что прямоугольник можно представить как ряды одинаковых квадратов.
Ответ: площадь прямоугольника равна 40 см². Единицу см² записываем потому, что стороны измерены в сантиметрах, а результат обозначает площадь.
Прямоугольный треугольник имеет катеты 12 см и 7 см. Чтобы найти его площадь, представим второй такой же треугольник: вместе они составили бы прямоугольник со сторонами 12 см и 7 см. Значит, сначала найдём площадь этого прямоугольника, а затем возьмём её половину.
Ответ: площадь треугольника равна 42 см². Деление на 2 обязательно: 84 см² — площадь всего прямоугольника, составленного из двух одинаковых треугольников.
Ошибка при переводе квадратных единиц. Иногда считают, что 1 дм² = 10 см², перенося правило для длины на площадь. Но квадрат имеет две стороны, поэтому маленьких квадратов получается 10 × 10 = 100. Проверь перевод, нарисовав квадрат и разделив каждую его сторону на 10 частей.
Запись площади в сантиметрах. Это происходит, когда путают длину и площадь: сантиметр измеряет отрезок, а см² — поверхность. Если в вычислении перемножались сантиметры, ответ нужно записать в квадратных сантиметрах. Перед проверкой спроси себя, что именно найдено: длина или площадь.
Сложение сторон прямоугольника вместо умножения. Сложение помогает находить периметр — длину границы фигуры, а площадь показывает число квадратных единиц внутри неё. Для площади используй формулу S = ab. Проверить себя можно по смыслу: результат должен отвечать на вопрос, сколько квадратов заполняют прямоугольник.
Забыто деление на 2 в формуле треугольника. Произведение катетов даёт площадь прямоугольника с такими же сторонами, а треугольник составляет только его половину. Поэтому после умножения нужно разделить результат на 2. Для проверки представь два одинаковых треугольника, складывающихся в этот прямоугольник.
Чтобы работать с площадями, нужно уметь измерять длины и переводить их единицы, умножать числа, а также узнавать квадрат и прямоугольник. Эти знания помогают понять, откуда берутся квадратные единицы и формулы. Дальше формулы пригодятся для нахождения площадей фигур, составленных из нескольких прямоугольников и треугольников.
Перевод единиц нужен не только в задачах из учебника, но и в практических измерениях: например, когда сравнивают размеры участка или поверхности предмета. Если результаты измерений даны в разных единицах, их сначала приводят к одной. Тогда вычисления становятся понятнее и ответ получается в подходящей квадратной единице.
Почему 1 дм² равен 100 см², а не 10 см²?
В одном дециметре 10 сантиметров, но квадрат со стороной 1 дм заполнен маленькими квадратами по 1 см² и вдоль одной стороны, и вдоль другой. Получается 10 × 10 = 100 квадратов, поэтому 1 дм² = 100 см².
Как понять, в каких единицах записать площадь?
Единица площади зависит от единиц, в которых измерены стороны. Например, если стороны указаны в сантиметрах, площадь записывают в квадратных сантиметрах. Для больших предметов удобнее использовать квадратные метры.
Почему площадь прямоугольника находят умножением сторон?
Прямоугольник можно заполнить одинаковыми квадратами, расположенными рядами. Число квадратов в одном ряду умножают на число рядов, поэтому площадь равна длине, умноженной на ширину.
Откуда берётся деление на 2 в формуле площади прямоугольного треугольника?
Два одинаковых прямоугольных треугольника можно соединить и получить прямоугольник, стороны которого равны катетам. Площадь одного треугольника составляет половину площади этого прямоугольника, поэтому произведение катетов делят на 2.
Что делать, если длины сторон заданы в разных единицах?
Сначала переведи длины в одну и ту же единицу, например сантиметры. Затем подставь их в формулу и укажи квадратную единицу этой длины. Нельзя перемножать значения в разных единицах без предварительного перевода.
8.1. Единицы измерения площадей. Площадь прямоугольника. Площадь прямоугольного треугольника
