7.5. Круговые диаграммы

Определения и обозначения

Круговая диаграмма — способ наглядно представить части целого в виде секторов одного круга. Весь круг обозначает целое, а каждый сектор — одну из его частей. Такая диаграмма помогает увидеть, как части соотносятся между собой, не сравнивая длинные списки чисел.

Сектор круга — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Радиус — отрезок от центра круга до его края. На диаграмме отдельный сектор изображает отдельную часть данных, например ответы участников опроса.

Доля — часть целого, выраженная отношением этой части ко всему целому. Например, если из четырёх одинаковых частей взята одна, это одна четверть, или ¼. Доля нужна, чтобы сравнивать категории даже тогда, когда в разных задачах общее количество предметов не одинаково.

Центральный угол — угол с вершиной в центре круга. Ему соответствует сектор: чем больше угол, тем больше сектор и изображаемая им доля. Полный круг составляет 360°, поэтому угол каждого сектора можно связать с долей от целого.

Как это устроено

Сначала определяют, что именно считается целым, и перечисляют его части. Например, если изучают предпочтения учеников, целое — все опрошенные, а части — группы учеников с разными ответами. Сумма частей должна равняться целому, иначе какие-то данные пропущены или учтены дважды. Поэтому до построения диаграммы полезно проверить общий итог.

Каждую часть изображают отдельным сектором, а его размер выбирают пропорционально доле. Если одна категория составляет больше от целого, чем другая, её сектор тоже должен быть больше. Иначе диаграмма будет вводить в заблуждение: рисунок станет показывать не те соотношения, что числа. Именно поэтому сектора нельзя назначать на глаз, если известны точные данные.

Чтобы построить диаграмму по количествам, сначала находят общий итог, складывая все части. Затем количество каждой категории делят на этот итог и получают её долю. Долю умножают на 360°: результат показывает центральный угол нужного сектора. Например, если часть составляет ¼ целого, угол равен ¼ × 360° = 90°, потому что сектор должен занимать четверть полного круга.

Когда данные заданы в процентах, их можно сразу перевести в углы. Один процент составляет сотую часть круга, поэтому 360° ÷ 100 = 3,6°; значит, угол равен числу процентов, умноженному на 3,6°. Все категории должны вместе составлять 100%, а их углы — 360°. Такая проверка помогает заметить пропущенный процент или вычислительную ошибку.

Для построения отмечают найденные углы транспортиром, каждый раз начиная от центра круга и уже проведённого радиуса. Проведённые из центра радиусы становятся границами секторов, после чего сектора подписывают. При чтении диаграммы сравнивают размеры секторов, чтобы понять, какие части больше или меньше. Если нужно узнать долю, угол сектора сравнивают с полным углом 360°.

Связь части целого с сектором круговой диаграммы

Таблица показывает, как одну и ту же часть целого записать долей, процентом и углом. Найди строку с подходящими данными или вычисли угол по правилу: число процентов умножить на 3,6°. Для доли используй умножение на 360°.

Разбор задач

Задача 1

В классе 24 ученика, из них 6 выбрали шахматы. Нужно определить, какую часть круга должна занимать эта категория на диаграмме. Сравним число выбравших шахматы со всеми учениками класса. Для этого найдём долю и соответствующий ей угол.

1. Запишем долю: 6/24 = ¼.
2. Найдём угол сектора: ¼ × 360° = 90°.
3. Проверим смысл результата: 90° — четверть полного круга, как и 6 из 24 учеников.

Ответ: сектор шахмат должен составлять ¼ круга, или 90°.

Задача 2

Из 40 опрошенных 10 человек предпочитают яблоки, 20 — груши, остальные — апельсины. Нужно найти углы всех секторов и проверить, что они образуют полный круг. Сначала вычислим число ответов про апельсины, потому что отдельное количество для этой категории не дано. Затем найдём долю каждого ответа от 40 и переведём её в угол.

1. Апельсины выбрали 40 − 10 − 20 = 10 человек.
2. Яблоки: 10/40 × 360° = 90°. Груши: 20/40 × 360° = 180°.
3. Апельсины: 10/40 × 360° = 90°. Складываем углы: 90° + 180° + 90° = 360°.

Ответ: яблоки — 90°, груши — 180°, апельсины — 90°; вместе сектора составляют полный круг.

Задача 3

Сектор спорта на диаграмме имеет угол 90°, а всего опросили 120 человек. Нужно узнать, сколько человек выбрали спорт, и определить долю остальных ответов, если их две категории. Угол показывает, какую часть полного круга занимает спорт. Поэтому сначала найдём долю, а затем применим её к общему числу опрошенных.

1. Доля спорта равна 90°/360° = ¼.
2. Число выбравших спорт: 120 × ¼ = 30 человек.
3. На два остальных ответа вместе приходится 360° − 90° = 270°, то есть 270°/360° = ¾ круга. Если обе категории неравны, их отдельные доли по этим данным определить нельзя.

Ответ: спорт выбрали 30 человек; два остальных ответа вместе занимают ¾ круга.

Типичные ошибки

Путают градусы и проценты. Иногда весь круг принимают за 100° или, наоборот, за 360%. Так происходит, когда две разные меры целого смешивают в одной записи. Помни: полный круг — 360°, а соответствующая ему доля — 100%; проверь, указаны ли у числа градусы или знак процента.

Умножают количество на 360° без деления на общий итог. Тогда угол получается намного больше круга, потому что число предметов ещё не стало долей. Сначала раздели количество категории на общее количество и только потом умножай на 360°. Проверка: угол одного сектора не может быть больше 360°.

Забывают остаток данных или неверно складывают части. Если категории не дают общий итог, часть целого пропущена или одна из величин посчитана неверно. Из-за этого и сумма углов может оказаться не равной 360°. Перед построением сложи количества, а после вычислений сложи углы и сверь результат с полным кругом.

Откладывают угол не от центра круга или не от нужного радиуса. В этом случае границы сектора не соответствуют вычисленному углу, даже если число найдено правильно. Такое случается, если при работе с транспортиром не совместить его центр с центром круга или начать измерение не от исходного радиуса. Проверь положение центра и стороны транспортира, а затем сравни сумму получившихся углов с 360°.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в круговых диаграммах, нужно уметь находить долю числа, сравнивать часть с целым и выполнять простые действия с дробями и процентами. Для построения секторов пригодятся знания об углах и умение пользоваться транспортиром. Диаграммы помогают анализировать результаты опросов и знакомят со способами представления данных. Позже эти умения пригодятся при изучении процентов и статистики.

Что запомнить

• Весь круг соответствует целому: 100% и 360°.
• Каждый сектор изображает часть целого.
• Размер сектора пропорционален изображаемой части.
• Угол сектора равен доле от целого, умноженной на 360°.
• Сумма углов всех секторов равна 360°.
• Сумма частей данных должна составлять всё целое.