1.8. Круговые диаграммы

Определения и обозначения

Круговая диаграмма — изображение данных в виде круга, разделённого на секторы; весь круг соответствует целому. Она помогает сразу увидеть, как общее количество распределено на части. Поэтому на такой диаграмме удобно сравнивать доли, например результаты опроса.

Сектор круга — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. На диаграмме размер сектора показывает долю целого, которую составляет соответствующая группа данных. По сектору можно оценить, какая часть общего количества приходится на эту группу.

Центральный угол — угол с вершиной в центре круга. Величина этого угла определяет размер соответствующего сектора. Чем больше угол, тем большую часть круга и общего количества изображает сектор.

Доля целого — часть общего количества, записанная, например, дробью 1/4 или 3/5. На круговой диаграмме ей соответствует такая же доля полного круга. Это понятие нужно, чтобы переходить от числа объектов к размеру сектора и обратно.

Как это устроено

На диаграмме все данные рассматривают как одно целое, поэтому для него отводят весь круг. Полный круг соответствует полному обороту, который измеряют углом 360°. Когда целое делят на части, круг тоже делится на секторы, а все они вместе должны заполнить его целиком.

Сектор занимает такую же часть круга, какую данные составляют от общего количества. Например, если пятая часть всех ответов относится к одному варианту, сектор должен составлять пятую часть круга. Такое соответствие позволяет изображать числовые отношения наглядно: большую долю показывает больший сектор.

Чтобы найти центральный угол сектора, умножь 360° на долю. Например, для доли 1/5 вычисление будет таким: 360° · 1/5 = 72°. Если доля дана в процентах, сначала представь процент дробью от 100: 40% = 40/100 = 0,4, а затем найди 360° · 0,4 = 144°.

Если известен угол, долю находят делением этого угла на 360°. Так, сектор в 72° соответствует доле 72/360 = 1/5. Чтобы узнать количество объектов в этой части, умножь общее количество на найденную долю: если всего 250 книг, то для доли 1/5 получаем 250 · 1/5 = 50 книг.

При чтении диаграммы сначала выясни, какое количество принято за целое, а затем сравни размеры нужных секторов. Если точные значения не подписаны, можно определить, какой сектор больше или меньше, и сравнить доли. Когда известны углы и общее количество, долю каждой группы находят через отношение угла к 360°, а значение — через умножение на целое.

Связь доли целого, процента и центрального угла

В таблице указаны равные способы описать одну и ту же часть целого: долей, процентом и углом. Чтобы перейти от доли к углу, умножь её на 360°, а чтобы перейти к проценту — на 100%. В последней строке a и b — числа, причём b не равно нулю.

Разбор задач

Задача 1. Найдите центральный угол сектора, который изображает 1/4 всех опрошенных. Здесь известна доля, а требуется угол, поэтому нужно найти такую же часть от полного угла круга. Четверть — это одна из четырёх равных частей.

1. Записываем полный угол круга: 360°.
2. Находим четверть: 360° · 1/4 = 90°.

Ответ: угол сектора равен 90°. Он занимает четверть круга, а значит, изображает четверть всех опрошенных.

Задача 2. В классе 30 учеников, 40% из них посещают спортивную секцию. Какой угол должен иметь соответствующий сектор диаграммы? Процент показывает долю от ста, поэтому перед умножением на 360° его нужно представить долей. Число учеников здесь помогает понять, к какой группе относятся данные, но для нахождения угла достаточно процента.

1. Переводим процент в долю: 40% = 40/100 = 0,4.
2. Находим соответствующую часть полного угла: 360° · 0,4 = 144°.

Ответ: сектор должен иметь угол 144°. Проверить результат можно так: 144° составляет 40% от 360°.

Задача 3. На круговой диаграмме сектор, соответствующий книгам по истории, имеет угол 72°. Всего в библиотеке 250 книг. Сколько книг по истории? Сначала определим, какую долю круга занимает сектор, а затем применим эту долю к общему количеству книг. Так мы связываем угол с количеством, не принимая число градусов за число книг.

1. Находим долю книг по истории: 72/360 = 1/5.
2. Находим одну пятую от 250: 250 · 1/5 = 50.

Ответ: в библиотеке 50 книг по истории. Проверка: сектор в 72° — это пятая часть круга, и 50 составляет пятую часть от 250.

Типичные ошибки

Иногда полный круг принимают за 100°, а не за 360°. Так путают полный угол с процентами, хотя 100% обозначает целое количество, а 360° — полный круг. Проверь себя: сумма углов всех секторов должна дать 360°, а сумма долей — целое, или 100%.

Ещё одна ошибка — умножать 360° на число процентов, не разделив его на 100. Например, для 40% нужно использовать 0,4, а не 40: иначе угол получится намного больше полного круга. Перед расчётом запиши процент как дробь от 100 или десятичную дробь.

Можно перепутать угол сектора и долю данных: сектор в 90° не означает 90% целого. Раздели угол на 360°: 90/360 = 1/4, то есть 25%. Такая проверка показывает, какую именно часть круга представляет сектор.

Также ошибочно считать, что сумма углов секторов может отличаться от 360°. Все части вместе составляют полный круг, даже если на рисунке есть округление или подписи. Проверь расчёты сложением углов: результат должен быть 360°.

Связь с другими темами

Чтобы работать с круговыми диаграммами, нужно уметь находить долю числа и переводить проценты в дробь или десятичную дробь. Например, чтобы вычислить 40% от числа, сначала можно представить 40% как 40/100. После этого долю легко связать с углом круга и количеством объектов.

Круговые диаграммы применяют для сравнения частей одного общего количества. С их помощью представляют результаты наблюдений, опросов и статистических исследований. Они особенно полезны, когда важно увидеть, какую долю от целого составляет каждая группа.

Что запомнить

• Весь круг соответствует целому и углу 360°.
• Угол сектора составляет такую же долю от 360°, какую данные составляют от целого.
• Чтобы найти угол сектора, умножь 360° на долю.
• Чтобы найти долю по углу сектора, раздели угол на 360°.
• Сумма центральных углов всех секторов равна 360°.
• Круговая диаграмма удобна для изображения частей одного общего количества.