43. Круговые диаграммы

Определения и обозначения

Круговая диаграмма — изображение данных в виде круга, разделённого на части. Весь круг соответствует целому, то есть общему количеству всех рассматриваемых объектов. Поэтому диаграмма помогает увидеть, как это количество распределено между категориями. По ней удобно сравнивать части одного общего набора данных.

Сектор круга — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Радиус соединяет центр круга с точкой на его краю, а дуга — участок края круга. На диаграмме отдельный сектор показывает данные одной категории. Его размер зависит от того, какую часть общего количества составляет категория.

Доля целого — часть общего количества, которую составляет отдельная категория. Её находят, разделив значение категории на сумму значений всех категорий. Например, если из 20 учеников 5 выбрали один ответ, доля этой группы равна 5/20. Эта доля показывает, какую часть круга следует отвести группе.

Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре круга. Он задаёт размер сектора: чем больше доля категории, тем больше её центральный угол. Весь круг составляет 360°, поэтому сектора вместе также занимают 360°. Центральный угол помогает точно разделить круг, когда диаграмму строят с помощью чертёжных инструментов.

Как это устроено

Сначала находят общее количество, потому что круг на диаграмме представляет именно все данные вместе. Для этого складывают значения всех категорий. Полученная сумма становится целым, с которым будут сравниваться остальные числа. Если начать делить круг, не зная целого, нельзя правильно определить размер каждой части.

Долю категории находят делением её значения на общее количество. Например, если из 20 участников 5 выбрали один вариант, доля равна 5/20, то есть 1/4. Деление показывает не просто число участников, а то, какую часть всех участников они составляют. Так можно сравнивать категории даже тогда, когда общие количества в разных опросах отличаются.

Размер сектора должен соответствовать доле категории, иначе диаграмма будет вводить читателя в заблуждение. Если одна категория составляет половину всех данных, её сектор должен занимать половину круга. Категория с меньшей долей получает меньший сектор, а с большей — больший. Поэтому форму диаграммы нельзя выбирать только для красоты: размеры частей передают сведения.

Чтобы построить диаграмму, сначала складывают значения и получают общее количество, а затем для каждой категории находят долю. После этого круг делят на секторы, соразмерные полученным долям, и подписывают их названиями. Если используют центральные углы, долю умножают на 360°: так узнают, какой угол должен быть у сектора. В конце полезно проверить, что все части составляют целый круг.

Готовую диаграмму читают, сопоставляя размер сектора с его подписью. Больший сектор означает большую долю, а одинаковые по размеру секторы — одинаковые доли. При этом весь круг не является отдельной категорией: он показывает сумму всех категорий. Чтобы узнать точные числа, а не только сравнить доли, нужно иметь подписи со значениями или знать общее количество.

Как данные представлены на круговой диаграмме

Заполняй таблицу сверху вниз: сначала запиши значения категорий и найди их общую сумму. Затем раздели значение каждой категории на общее количество, чтобы получить её долю. В строке «Все категории вместе» должны оказаться общее количество и целое, которому соответствует весь круг.

Разбор задач

В опросе участвовали 20 учеников. Нужно определить, какую часть круга отвести категории, выбранной 5 учениками. Здесь общее количество уже известно, поэтому его не требуется искать сложением. Сравним число выбравших категорию со всеми участниками: отношение покажет нужную долю.

1. Записываем общее количество: 20 учеников.
2. Делим число учеников в категории на общее количество: 5/20.
3. Сокращаем дробь: 5/20 = 1/4. Значит, сектор должен занимать четверть круга.

Ответ: категории соответствует 1/4 круга. Если нужно отложить сектор по центральному углу, четверть от 360° равна 90°. Проверка проста: четыре такие равные части составили бы весь круг.

В кружках занимаются 12 учеников: 6 ходят на шахматы, 4 — на рисование, остальные — на танцы. Сначала найдём, сколько учеников ходят на танцы, иначе сумма известных групп не охватит всех участников. Затем сравним каждую группу с общим количеством 12 и проверим, что доли складываются в целое.

1. На шахматы и рисование ходят 6 + 4 = 10 учеников.
2. На танцы ходят 12 − 10 = 2 ученика.
3. Доли групп: шахматы — 6/12 = 1/2; рисование — 4/12 = 1/3; танцы — 2/12 = 1/6.
4. Проверяем: 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1. Значит, учтены все ученики.

Ответ: шахматы — 1/2 круга, рисование — 1/3, танцы — 1/6. Для разбиения круга этим долям соответствуют углы 180°, 120° и 60°. Вместе они дают 360°, то есть полный круг.

Одна из двух категорий составляет треть круга, а всего опрошено 24 человека. Нужно узнать, сколько человек относится к этой категории и сколько — к другой. Треть круга означает треть от всех опрошенных, а две категории вместе должны составить целое. Поэтому сначала найдём одну треть от общего количества, а потом вычтем её из 24.

1. Делим общее количество на 3: 24 ÷ 3 = 8.
2. В первой категории 8 человек.
3. Во второй категории остальные: 24 − 8 = 16.
4. Проверяем: 8 + 16 = 24, а доли 1/3 и 2/3 вместе равны целому.

Ответ: к первой категории относятся 8 человек, ко второй — 16 человек. Проверка подтверждает, что учтены все опрошенные. На диаграмме второй сектор будет вдвое больше первого.

Типичные ошибки

Если строить секторы до того, как найдено общее количество, доли могут оказаться несогласованными. Так бывает, когда каждое значение сравнивают с разным числом или забывают сложить категории. Сначала сложи все значения и используй одну и ту же сумму для нахождения каждой доли. В конце проверь, что доли вместе составляют целое.

Иногда больший сектор считают большей долей, не проверяя, что он показывает часть того же круга. На правильно составленной диаграмме все сектора относятся к одному целому, а не к разным кругам. Сопоставь их границы и подписи: размер сектора должен соответствовать значению категории. Если нужно сравнить точные числа, используй данные, а не только зрительную оценку.

Оставшуюся категорию легко забыть или принять её значение за отдельное от общего количества. Обычно её находят вычитанием суммы известных значений из общего количества. Проверь, что после добавления остатка сумма всех категорий стала равна целому. Если остаток отрицательный или сумма не совпадает, пересмотри вычисления и исходные числа.

Если доли при сложении не дают целое, диаграмма описывает не все данные или в вычислениях есть ошибка. Такое случается, когда пропущена категория, неверно найдена общая сумма или перепутан числитель при делении. Сложи все значения и отдельно сложи полученные доли. Они должны соответствовать всему кругу; при точных значениях доли дают целое, а при округлении могут быть небольшие расхождения.

Связь с другими темами

Чтобы работать с круговыми диаграммами, нужно уметь складывать значения и находить часть от целого. Эти умения встречаются в задачах с опросами, наблюдениями и другими наборами данных: диаграмма помогает наглядно сравнить категории. Долю можно записать обыкновенной дробью или процентом, поэтому тема связана с изучением дробей и процентов. Например, 1/2 целого — это 50%.

Что запомнить

• Весь круг соответствует общему количеству.
• Сумма значений всех категорий — это целое.
• Каждому значению соответствует своя доля круга.
• Большей доле соответствует больший сектор.
• Перед построением диаграммы найдите общее количество.
• Подпишите сектора, чтобы было понятно, какие данные они представляют.