§ 14. Круговые диаграммы

Определения и обозначения

Круговая диаграмма — круг, разделённый на секторы, размеры которых показывают части общей величины. Она помогает увидеть, как целое распределено между категориями, и сравнить эти части. Например, так можно представить расходы семьи по разным направлениям.

Сектор круга — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. На диаграмме отдельный сектор соответствует одной категории данных. Чем больше сектор, тем большую часть целого изображает эта категория.

Доля величины — отношение значения категории к общей сумме всех значений. Если из 20 книг 5 — сказки, их доля равна 5/20, то есть ¼. Доля нужна, чтобы сравнивать категории независимо от того, в каких единицах измерены данные.

Центральный угол сектора — угол с вершиной в центре круга, по величине которого определяют размер сектора. Его стороны являются радиусами, ограничивающими сектор. Угол позволяет точно построить сектор транспортиром и выразить долю категории через часть полного круга.

Как это устроено

Весь круг изображает всю величину, поэтому ему соответствуют 100% данных. Полный поворот вокруг центра равен 360°, и именно на столько градусов нужно разделить круг между категориями. Каждая категория получает часть полного поворота в соответствии со своей долей. Поэтому сумма процентов всех секторов равна 100%, а сумма их углов — 360°.

Чтобы найти долю категории, нужно её значение разделить на общую сумму значений. Например, если из 20 предметов 5 относятся к одной категории, доля этой категории равна 5/20. Сложив значения всех категорий, мы получаем целое, поэтому сумма их долей составляет 1. В процентах это же целое записывается как 100%; такая проверка помогает заметить пропущенные данные или ошибку в вычислениях.

Размер сектора должен быть такой же частью полного угла, какой доля категории является частью целого. Поэтому долю умножают на 360°: например, для доли ¼ получаем ¼ · 360° = 90°. Если данные уже записаны в процентах, можно рассуждать так: 100% соответствуют 360°, значит, 1% соответствует 3,6°. Тогда для p процентов угол равен p · 3,6°; это то же вычисление, что p / 100 · 360°.

Для построения сначала начерти круг и проведи радиус — он будет общей начальной границей секторов. От него транспортиром отложи первый рассчитанный угол, затем от полученного радиуса отложи следующий угол и продолжай, пока категории не закончатся. Такой способ задаёт секторам общие границы без промежутков и наложений. После построения подпиши категории и проверь, что все углы вместе дают 360°.

При чтении диаграммы сравнивай размеры секторов: больший сектор соответствует большей доле, если диаграмма построена правильно. Чтобы найти долю категории по её углу, раздели угол сектора на 360°. Если известно общее количество, умножь его на найденную долю — так получишь значение категории. Например, сектор в 90° составляет четверть круга, а при общем количестве 40 ему соответствует 10.

Связь данных, долей, процентов и углов на круговой диаграмме

Используй таблицу как цепочку переходов: от значений категорий — к долям или процентам, а затем к углам. Для обратного перехода раздели угол на 360° и умножь полученную долю на общую сумму. В конце проверь, что части составляют целое.

Разбор задач

В классе 24 ученика, из них 6 занимаются спортом. Найдём долю спортсменов и угол сектора, который будет изображать эту категорию. Сначала сравним число спортсменов с числом всех учеников, а затем выразим эту часть от полного круга. Так мы не перепутаем количество учеников с размером сектора.

1. Доля спортсменов равна 6/24. Сократим дробь на 6: 6/24 = ¼. Значит, спортом занимается четверть класса.

2. Умножим долю на полный угол: ¼ · 360° = 90°. Можно проверить ответ: 90° — четверть от 360°.

Ответ: доля спортсменов — ¼ (25%), центральный угол сектора — 90°.

Расходы семьи за месяц составили 60 000 рублей: 30% потрачено на продукты, 20% — на транспорт, остальные деньги — на другие нужды. Чтобы построить диаграмму, сначала найдём недостающий процент, а затем переведём каждый процент в угол. Углы должны распределить весь круг без остатка.

1. Найдём процент на другие нужды: 100% − 30% − 20% = 50%. Теперь известны доли всех трёх категорий.

2. Угол продуктов: 30 · 3,6° = 108°. Угол транспорта: 20 · 3,6° = 72°.

3. Угол других нужд: 50 · 3,6° = 180°. Проверим сумму: 108° + 72° + 180° = 360°.

4. Начертим круг, проведём начальный радиус и последовательно отложим углы 108°, 72° и 180°. Подпишем получившиеся секторы названиями категорий.

Ответ: продукты — 108°, транспорт — 72°, другие нужды — 180°.

Всего прочитано 40 книг, а угол сектора фантастики равен 90°. Нужно определить количество книг этого жанра. Сначала найдём, какую часть круга занимает сектор, потому что угол сам по себе ещё не показывает число книг. Затем применим эту долю к общему количеству.

1. Доля фантастики равна 90° / 360° = ¼. Сектор занимает четверть всей диаграммы.

2. Найдём четверть от 40: 40 · ¼ = 10. Значит, на фантастику приходится 10 книг.

Ответ: прочитано 10 книг фантастики.

Типичные ошибки

Принимают величину сектора за значение категории. Сектор показывает долю целого, а не сразу количество предметов или рублей. Ошибку допускают, когда забывают учесть общую сумму данных. Для проверки сначала найди долю по углу, а затем умножь её на общий размер величины.

Вычисляют угол по проценту как p · 360°. Так процент ошибочно считают целой долей: например, 25% превращают в 25 полных кругов. Перед умножением переведи процент в долю, разделив его на 100, или используй правило p · 3,6°. Проверь результат: угол для процента меньше 100% должен быть меньше 360°.

Откладывают углы не от общей начальной границы или не проверяют их сумму. Тогда между секторами могут появиться зазоры или они могут наложиться друг на друга. Такое случается, если каждый угол отсчитывают от одного и того же радиуса, хотя следующий сектор нужно начинать от предыдущей границы. Последовательно откладывай углы и убедись, что их сумма равна 360°.

Путают радиус, диаметр и центральный угол. Радиус идёт от центра круга до окружности, диаметр проходит через центр и соединяет две точки окружности, а центральный угол образован двумя радиусами. Из-за путаницы можно неправильно провести границу сектора или измерить не тот угол. Перед построением найди центр, обозначь начальный радиус и измеряй угол между радиусами транспортиром.

Связь с другими темами

Для круговых диаграмм нужны умения находить долю числа, работать с дробями и процентами, а также строить углы транспортиром. Диаграммы применяют в статистике и практических задачах, когда нужно показать состав целого и сравнить его части: например, расходы, результаты опроса или распределение книг по жанрам. Тема связывает дроби, отношения и пропорции с изучением диаграмм и обработкой данных.

Что запомнить

• Полный круг соответствует 100% и 360°.
• Сектор круговой диаграммы изображает отдельную часть общей величины.
• Доля категории равна отношению её значения к общей сумме.
• Центральный угол сектора равен доле, умноженной на 360°.
• 1% общей величины соответствует углу 3,6°.
• Сумма углов всех секторов равна 360°.
• Для построения диаграммы данные сначала переводят в доли или проценты, а затем — в углы.