2.1. Отрицательные целые числа

Определения и обозначения

Отрицательное целое число — это число, которое меньше нуля и записывается со знаком «−», например −2 или −15. Такой знак показывает, что число расположено по другую сторону от нуля, чем положительные числа. Отрицательные числа нужны, чтобы обозначать значения меньше нуля: например, температуру ниже нуля. Число −5 читают «минус пять».

Целыми называют натуральные числа, противоположные им числа и нуль. Например, 1, 2 и 3 — натуральные числа, а −1, −2 и −3 — противоположные им числа. Вместе с нулём они составляют целые числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Такое объединение позволяет работать и с числами меньше нуля.

Противоположные числа имеют одинаковые модули, то есть одинаково удалены от нуля, но разные знаки. Например, для 4 противоположное число — −4: оба числа находятся на расстоянии четырёх единичных отрезков от нуля. Нуль противоположен самому себе, потому что расстояние от него до нуля равно нулю. Понятие противоположных чисел помогает находить пары чисел, расположенные симметрично относительно нуля.

Отрицательное число записывают со знаком «−» перед цифрами: −5, −12, −100. Его читают, называя знак и число: «минус пять», «минус двенадцать», «минус сто». Если перед числом нет знака, обычно считают, что оно положительное: запись 6 означает то же, что +6. Знак нужно писать внимательно, иначе запись будет обозначать другое число.

Как это устроено

Натуральными числами удобно считать предметы, но ими нельзя обозначить результат, который оказался бы меньше нуля, или значение по другую сторону нулевой отметки. Для таких ситуаций ввели отрицательные числа. Благодаря этому числовой ряд не заканчивается на нуле, а продолжается влево без конца. Например, можно записать температуру −4 °C, то есть четыре градуса ниже нуля.

Чтобы показать порядок чисел, используют координатную прямую: это прямая с началом отсчёта в точке 0 и одинаковыми единичными отрезками. Справа от нуля отмечают положительные числа, а слева — отрицательные. Причина такого расположения в том, что числа увеличиваются при движении вправо, а при движении влево уменьшаются. Так на одной прямой можно увидеть и положение числа, и его связь с нулём.

Положение на прямой помогает сравнивать целые числа: число левее другого меньше него. Например, −6 меньше −2, потому что точка −6 расположена левее точки −2. Это может сначала казаться непривычным: модуль числа 6 больше модуля числа 2, но сами отрицательные числа сравнивают по их местам на прямой. Двигаясь от −6 вправо к −2, мы увеличиваем значение.

Чтобы найти число, противоположное данному, нужно отложить от нуля такое же расстояние, но в другую сторону. Поэтому точки −5 и 5 стоят на равном расстоянии от нуля: одна слева, другая справа. Если число было положительным, противоположное ему будет отрицательным, и наоборот. На прямой этот способ виден как отражение точки относительно нуля.

Нуль разделяет отрицательные и положительные числа, но сам не относится ни к одной из этих групп. Он не меньше себя и не больше себя, поэтому его нельзя назвать отрицательным или положительным. При движении по прямой от отрицательных чисел через нуль к положительным меняется направление относительно нулевой отметки. Эта граница нужна, чтобы различать числа со знаком «−» и числа со знаком «+».

Целые числа и их расположение на координатной прямой

Сначала определите вид числа по знаку, а затем посмотрите, с какой стороны от нуля оно находится. В последнем столбце указано число на таком же расстоянии от нуля, но с другой стороны. Для нуля противоположное число совпадает с ним самим.

Разбор задач

Запишите числа −4, 0 и 6 словами и укажите, какие из них отрицательные.

Чтобы прочитать числа, назовём знак и число, если знак «−» есть. Затем проверим, какие числа меньше нуля: наличие минуса указывает на отрицательное число, а нуль к ним не относится. Число без знака в этой записи считаем положительным. Так мы не перепутаем отсутствие плюса с отрицательным знаком.

1. Число −4 читается «минус четыре».
2. Число 0 читается «нуль».
3. Число 6 читается «шесть» или «плюс шесть».
4. Сравниваем со знаком числа: отрицательное здесь только −4.

Ответ: −4 — «минус четыре», 0 — «нуль», 6 — «шесть»; отрицательное число — −4.

Расположите на координатной прямой числа −3, 2, −1 и 0, а затем запишите их в порядке возрастания.

Отметим нуль, а затем каждое число на нужном расстоянии от него: отрицательные — слева, положительное — справа. При записи по возрастанию двигаемся по прямой слева направо, потому что значения при этом увеличиваются. Среди отрицательных −3 находится левее −1. Нуль расположен правее обоих отрицательных чисел, а 2 — правее нуля.

1. Слева от нуля отметим −3 и −1, причём −3 будет левее.
2. В точке отсчёта отметим 0.
3. Справа от нуля отметим 2.
4. Прочитаем точки слева направо: −3, −1, 0, 2.

Ответ: в порядке возрастания числа записываются так: −3, −1, 0, 2.

Для чисел −7, 4 и 0 найдите противоположные числа и объясните ответ с помощью координатной прямой.

Противоположное число должно находиться от нуля на том же расстоянии, что и исходное, но по другую сторону. Поэтому у ненулевых чисел меняем знак, сохраняя цифру. Нуль остаётся на месте: точка 0 не имеет расстояния от нуля, которое можно было бы отложить в другую сторону. Проверим полученные пары по расположению на прямой.

1. Для −7 откладываем семь единичных отрезков вправо от нуля и получаем 7.
2. Для 4 откладываем четыре единичных отрезка влево и получаем −4.
3. Для 0 противоположным будет 0, поскольку он расположен в точке отсчёта.

Ответ: противоположные числа — 7, −4 и 0 соответственно. На прямой числа −7 и 7, а также 4 и −4 расположены на равных расстояниях от нуля по разные стороны.

Типичные ошибки

Некоторые считают нуль отрицательным, потому что он не является положительным. Но отрицательные числа строго меньше нуля, а нуль равен нулю; проверьте, сравнив 0 < 0. Поэтому нуль не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.

Ошибка «−8 больше −3, потому что 8 больше 3» возникает, если сравнивать только цифры после знака. На прямой −8 лежит левее −3, значит, −8 < −3. Проверяйте сравнение расположением точек: левое число всегда меньше правого.

Иногда знак числа путают со знаком сравнения или забывают написать «−». Тогда запись может обозначить положительное число вместо отрицательного. Чтобы проверить себя, прочитайте число вслух и убедитесь, что минус стоит непосредственно перед числом: −5, а не 5. Знак сравнения < или > ставят между двумя числами, а не перед числом.

Противоположными ошибочно называют числа с разными модулями, например −3 и 5. У такой пары разные расстояния до нуля, поэтому точки не симметричны относительно него. Сверьте расстояния: у противоположных чисел модули равны, а знаки различаются. Исключение по знакам — нуль, противоположный самому себе.

Связь с другими темами

Для работы с отрицательными числами понадобятся знания о натуральных числах, нуле и координатной прямой. Натуральные числа дают привычный ряд для счёта, а прямая помогает увидеть, как этот ряд продолжается влево от нуля. Умение читать расположение чисел пригодится при их сравнении. Оно также станет основой для изучения рациональных чисел.

Отрицательные числа встречаются в следующих темах, когда нужно сравнивать числа или выполнять действия с числами разных знаков. Например, без них нельзя полно описать значения по обе стороны нуля. Понимание противоположных чисел поможет разобраться в дальнейшем изучении числовых множеств и действий. Поэтому важно уверенно определять знак и место числа на прямой.

Что запомнить

• Отрицательное целое число меньше нуля.
• Целые числа включают отрицательные числа, нуль и положительные числа.
• На координатной прямой отрицательные числа расположены слева от нуля.
• Чем левее число на координатной прямой, тем оно меньше.
• Противоположные числа имеют равные модули и разные знаки.
• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.