§ 1. Отрицательные целые числа

Определения и обозначения

Отрицательное целое число — это целое число, меньшее нуля. Его записывают со знаком «−»: −1, −6, −25. Такой знак показывает, что число находится слева от нуля и описывает величину с недостатком, долгом или положением ниже выбранной отметки.

Положительное целое число — это целое число, большее нуля. Обычно перед ним знак «+» не пишут: 4 означает +4. Отрицательное число имеет знак «−», а положительное — знак «+» или не имеет написанного знака.

Целые числа — это все положительные и отрицательные целые числа вместе с нулём. К ним относятся …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Это множество используют, когда величина может быть как больше, так и меньше нуля.

Противоположные числа имеют одинаковый модуль, но разные знаки: −5 и 5, −12 и 12. Модуль показывает расстояние числа от нуля, поэтому такие числа равноудалены от нуля. При сложении противоположных чисел получается ноль: −5 + 5 = 0.

Как это устроено

Числа меньше нуля понадобились потому, что не всякая величина начинается с нуля и растёт только вверх. Температура может опуститься ниже 0 °C, лифт — оказаться ниже первого этажа, а у человека может появиться долг. Отрицательное число позволяет записать такую величину точно, а не просто сказать «ниже нуля» или «не хватает».

Чтобы расположить числа, используют координатную прямую: выбирают точку нуля и единичный отрезок. Положительные числа откладывают вправо от нуля, потому что их значения увеличиваются в этом направлении. Отрицательные числа откладывают влево, отмечая −1, −2, −3 и так далее через одинаковые единичные отрезки.

При движении по координатной прямой слева направо каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Например, после −2 справа находится −1, затем 0, затем 1. Поэтому направление на прямой задаёт порядок чисел: чем правее точка, тем больше соответствующее число.

Противоположные числа связаны с расстоянием от нуля. Точки −6 и 6 находятся на расстоянии шести единичных отрезков от нуля, но одна слева, а другая справа. Поэтому у противоположных чисел одинаковая величина без знака, но направления относительно нуля разные.

Сравнивать целые числа можно по их точкам на прямой: правое число больше левого. Среди отрицательных чисел это иногда кажется необычным: −3 больше −8, потому что −3 расположено правее и ближе к нулю. Значит, при сравнении отрицательных чисел нужно учитывать не только цифры после знака «−», но и положение точек.

Положительные, отрицательные числа и ноль

Таблица помогает определить число по трём признакам: знаку, месту на прямой и сравнению с нулём. Если число записано со знаком «−», оно отрицательное; если перед числом нет знака, оно обычно положительное. Ноль нужно рассматривать отдельно: он находится между двумя видами чисел и не входит ни в одну из этих групп.

Разбор задач

Задача 1. Из чисел −8, 0, 5, −1, 12 выпишите отрицательные целые числа.

1. Вспоминаем признак отрицательного числа: оно меньше нуля и записывается со знаком «−».
2. Проверяем числа по очереди: −8 и −1 имеют знак «−», значит, они отрицательные.
3. Число 0 не является отрицательным, а 5 и 12 больше нуля, значит, они положительные.

Ответ: −8, −1.

Задача 2. Отметьте на координатной прямой числа −4, −1 и 3.

1. Выбираем нулевую точку и единичный отрезок, например расстояние между соседними целыми числами.
2. От нуля откладываем четыре единичных отрезка влево и ставим точку −4.
3. Один отрезок влево от нуля даёт точку −1, а три отрезка вправо — точку 3.

Ответ: точки расположены так: −4, −1, 0, 3; слева направо порядок именно такой.

Задача 3. Сравните числа −7 и −3, затем расположите числа −7, 2, −3, 0 в порядке возрастания.

1. На прямой −7 находится левее −3, поэтому −7 меньше −3.
2. Для порядка возрастания начинаем с самой левой точки. Сначала идёт −7, затем −3, после него 0, а правее всех находится 2.
3. Проверяем соседние пары: −7 < −3, −3 < 0 и 0 < 2. Все переходы идут слева направо, значит, порядок выбран верно.

Ответ: −7 < −3; порядок возрастания: −7, −3, 0, 2.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать отрицательное число большим нуля. Так происходит, когда ученик смотрит только на цифру, а не на знак. Проверьте запись: знак «−» перед числом означает, что оно меньше нуля.

Ошибка 2. Считать −8 больше −3, потому что 8 больше 3. На прямой −8 находится левее −3, поэтому −8 < −3. Для проверки представьте обе точки или сравните, какое число ближе к нулю.

Ошибка 3. Путать знак числа и его расположение. Отрицательные числа всегда отмечают слева от нуля, а положительные — справа. Если выбранная точка оказалась не на той стороне прямой, проверьте знак ещё раз.

Ошибка 4. Считать ноль положительным или отрицательным числом. Ноль не имеет знака «+» или «−» и является границей между двумя группами. Запомните: 0 = 0, но 0 не больше и не меньше самого себя.

Связь с другими темами

Перед изучением отрицательных чисел нужно уметь работать с натуральными числами и нулём, понимать координатную прямую и сравнивать числа. Эти знания помогают правильно читать знак и положение точки.

Отрицательные целые числа понадобятся при сравнении и выполнении действий с целыми числами. Они также используются в задачах о температуре, высоте, глубине, движении и долгах.

Что запомнить

• Отрицательное целое число меньше нуля.
• Положительное целое число больше нуля.
• Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Отрицательные числа расположены на координатной прямой слева от нуля.
• Положительные числа расположены справа от нуля.
• На координатной прямой больше то число, которое расположено правее.