§ 2. Сравнение целых чисел

Определения и обозначения

Целые числа — это натуральные числа, нуль и числа, противоположные натуральным: −1, −2, −3 и так далее. К ним относятся и положительные, и отрицательные числа, и 0. Это множество нужно, чтобы записывать результаты счёта, долги, температуры и положения объектов по обе стороны от нуля.

Положительные и отрицательные числа — целые числа справа и слева от нуля на координатной прямой. Числа 1, 2, 3 являются положительными, а −1, −2, −3 — отрицательными. Такое разделение помогает сразу понять, по какую сторону от нуля находится число.

Сравнение чисел — это установление, какое из двух чисел больше, меньше или они равны. Для записи используют знаки >, < и =. Сравнение позволяет расположить числа по порядку и выбрать нужное число при решении задачи.

Координатная прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Начало отсчёта обозначают числом 0, а одинаковые единичные отрезки задают положения остальных чисел. Она нужна для наглядного сравнения: достаточно посмотреть, какое число находится правее.

Как это устроено

На координатной прямой положительное направление обычно идёт слева направо. При движении в этом направлении к каждому числу прибавляется один и тот же единичный отрезок, поэтому значения увеличиваются. Значит, точка правее соответствует большему числу, а точка левее — меньшему.

Положительные целые числа сравнивают по их удалённости от нуля в положительном направлении. Например, 6 находится правее 2, потому что от нуля до 6 нужно пройти больше единичных отрезков. Поэтому 6 > 2, а в обратном порядке 2 < 6.

Нуль является границей между положительными и отрицательными числами. Любое положительное число расположено правее нуля, поэтому оно больше нуля, а любое отрицательное — левее нуля и меньше нуля. Отсюда следует цепочка: положительное число > 0 > отрицательное число.

У отрицательных чисел направление от нуля влево, поэтому удаление от нуля делает число меньше. Например, −3 расположено правее −8 и потому больше него, хотя число 3 меньше 8. Чтобы записать результат, мысленно читайте его слева направо: −3 > −8 означает «минус три больше минус восьми», а равные числа обозначают знаком =.

Правила сравнения целых чисел

В таблице сначала определите, к какому виду относится пара чисел, а затем примените соответствующее правило. Если числа стоят на координатной прямой, правило можно проверить положением точек. Обратное неравенство получают перестановкой чисел и заменой знака > на < или < на >.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить числа 7 и 4. Оба числа положительные, поэтому достаточно определить, какое из них дальше от нуля. На координатной прямой 7 находится правее 4.

1. Определяем вид чисел: 7 и 4 — положительные.
2. Сравниваем их положения или удалённость от нуля: 7 дальше вправо.
3. Ставим знак больше перед числом 7 и проверяем чтением слева направо.

Ответ: 7 > 4, а обратное неравенство имеет вид 4 < 7.

Задача 2. Сравнить числа −3 и −8. Оба числа отрицательные, поэтому нельзя просто сравнить числа без знаков. На прямой −3 расположено ближе к нулю, чем −8.

1. Определяем вид чисел: оба числа отрицательные.
2. Сравниваем расстояния до нуля: 3 единицы для −3 и 8 единиц для −8.
3. Больше то отрицательное число, которое ближе к нулю.

Ответ: −3 > −8, или в обратной форме −8 < −3.

Задача 3. Расположить числа −5, 2, 0, −1 и 4 в порядке возрастания и записать несколько верных неравенств. Порядок возрастания означает движение от меньшего числа к большему. Сначала идут числа левее на координатной прямой, затем числа правее.

1. Среди отрицательных чисел левее находится −5, затем −1.
2. После отрицательных чисел идёт 0, потому что он правее их.
3. Справа от нуля находятся 2 и 4, причём 2 левее 4.
4. Объединяем все части в одну последовательность и читаем её слева направо.

Ответ: −5 < −1 < 0 < 2 < 4. Верные неравенства: −5 < 4, −1 < 2, 4 > 0.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Иногда считают −8 больше −3 из-за большего модуля, то есть расстояния до нуля. Так происходит, если правило для положительных чисел переносят на отрицательные без учёта направления. Проверьте себя по прямой: −8 левее −3, значит, −8 меньше.

Ошибка 2. Нельзя считать число с большим количеством цифр автоматически большим. Знак числа и положение относительно нуля важнее числа цифр, поэтому −100 меньше 2. Для проверки сначала определите, положительные числа или отрицательные, а потом примените нужное правило.

Ошибка 3. Знаки > и < путают, когда смотрят только на их форму. Прочитайте запись словами слева направо: 3 < 7 — «три меньше семи», а 7 > 3 — «семь больше трёх». Можно также представить раскрытую часть знака обращённой к большему числу.

Ошибка 4. Нуль иногда называют положительным или отрицательным числом. Это неверно: нуль не относится ни к одной из этих групп и стоит между ними. Проверяйте себя цепочкой «положительное число > 0 > отрицательное число».

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать целые числа, положительное и отрицательное направления, координатную прямую и знаки >, <, =. Без этих понятий трудно понять, почему расположение точек связано со сравнением чисел. Повторите их, если при чтении неравенств возникает путаница.

Сравнение используется при решении неравенств и сравнении значений выражений. Оно помогает определить, какие значения подходят условию и какое выражение принимает большее значение. Те же правила применяются при работе с модулями, координатами и отрицательными величинами.

Что запомнить

• На координатной прямой больше то число, которое расположено правее.
• Меньше то число, которое расположено левее.
• Любое положительное число больше нуля.
• Нуль больше любого отрицательного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.
• Равные числа имеют одинаковое значение и обозначаются знаком =.