§ 3. Модуль числа

Определения и обозначения

Модуль числа — это расстояние от точки, соответствующей этому числу на координатной прямой, до начала отсчёта, то есть до нуля. Например, точка с координатой 4 находится от нуля на расстоянии четырёх единиц. Такое определение помогает увидеть, насколько далеко число расположено от нуля, не учитывая, с какой стороны от него находится точка.

Модуль числа a обозначают |a|, читая эту запись как «модуль a». Вертикальные черты здесь не означают умножение и не являются обычными скобками: вместе они показывают, что нужно найти расстояние от числа до нуля. Поэтому, например, запись |−3| означает расстояние от точки −3 до нуля.

Если число положительное, его модуль равен самому числу: |a| = a при a > 0. Положительная точка уже расположена справа от нуля, и расстояние до неё совпадает с её координатой. Например, |5| = 5; это правило удобно, когда нужно быстро убрать обозначение модуля у положительного числа.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль нуля равен нулю. Например, |−5| = 5, потому что противоположное числу −5 число — это 5; при этом |0| = 0. Так определение учитывает, что расстояние всегда неотрицательно, даже если сама координата меньше нуля.

Как это устроено

На координатной прямой положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева, а сам ноль является началом отсчёта. Координата сообщает, где именно расположена точка, и может иметь знак плюс или минус. Расстояние же описывает только длину отрезка между точками, поэтому знак у него не бывает отрицательным. По этой причине модуль всегда показывает неотрицательное число.

Числа a и −a называют противоположными: у них одинаковые числовые значения без учёта знака, но разные знаки, если они не равны нулю. На прямой их точки расположены по разные стороны от нуля и на одинаковом удалении от него. Например, точки −4 и 4 отстоят от нуля на четыре единицы. Поэтому модули противоположных чисел равны: |a| = |−a|.

Правило вычисления модуля получается прямо из определения расстояния. Если a ≥ 0, точка находится справа от нуля или совпадает с ним, поэтому расстояние равно координате: |a| = a. Если a < 0, точка находится слева, и её расстояние до нуля равно числу, противоположному координате: |a| = −a. Например, при a = −6 получаем −a = 6, значит, |−6| = 6.

Из определения следует, что |a| ≥ 0 для любого числа a: расстояние может быть положительным или нулевым, но не отрицательным. Нулевое расстояние получается только тогда, когда точка совпадает с началом отсчёта. Следовательно, |a| = 0 только при a = 0. Например, расстояние от точки −2 до нуля равно 2, а не −2.

Модуль помогает находить расстояние между любыми двумя точками прямой. Если координаты точек равны a и b, расстояние между ними составляет |a − b|: разность показывает смещение, а модуль убирает его направление. Можно вычесть координаты и в обратном порядке — получится противоположная разность, но её модуль будет тем же. Например, для точек с координатами 2 и −3 имеем |2 − (−3)| = |5| = 5.

Модуль числа: определение и основные свойства

Сначала найди, к какому случаю относится число: оно положительное, отрицательное или равно нулю. Затем примени запись из второго столбца и проверь, что результат неотрицательный. Для расстояния между двумя точками используй последнюю строку: вычти координаты и возьми модуль разности.

Разбор задач

Найдите |−8|, |3| и |0|.

Нужно определить знак каждого числа и вспомнить, что модуль показывает расстояние до нуля. У отрицательного числа модуль равен противоположному числу, у положительного — самому числу, а модуль нуля равен нулю. Проверим каждый случай отдельно.

1. Для числа −8 противоположное число — 8, поэтому |−8| = 8.
2. Число 3 положительное, значит, |3| = 3.
3. По определению |0| = 0.

Все ответы неотрицательны, как и должно быть для расстояния. Ответ: |−8| = 8, |3| = 3, |0| = 0.

Сравните |−6| и |4|. Какое число больше?

Сравнивать нужно не сами числа −6 и 4, а их модули. Каждый модуль найдём как расстояние соответствующей точки до нуля. После вычисления получатся обычные неотрицательные числа, которые легко сравнить.

1. Точка −6 находится от нуля на расстоянии 6, поэтому |−6| = 6.
2. Точка 4 находится от нуля на расстоянии 4, поэтому |4| = 4.
3. Сравниваем результаты: 6 > 4, значит, |−6| > |4|.

Хотя число −6 меньше числа 4, его модуль больше: точка −6 дальше от нуля. Это показывает, почему при сравнении модулей важно сначала найти расстояния, а не сравнивать числа внутри вертикальных черт. Ответ: |−6| больше, чем |4|.

На координатной прямой даны точки A(−4) и B(3). Найдите расстояние между ними.

Координаты точек имеют разные знаки, поэтому точки расположены по разные стороны от нуля. Расстояние можно найти как модуль разности координат: AB = |3 − (−4)|. Будем аккуратно выполнять вычитание, особенно следя за знаком числа в скобках.

1. Записываем формулу для расстояния: AB = |3 − (−4)|.
2. Вычитание отрицательного числа заменяем сложением: 3 − (−4) = 3 + 4 = 7.
3. Находим модуль результата: |7| = 7.

Полученное расстояние положительно и равно семи единицам. На прямой это можно проверить: от −4 до 0 четыре единицы, а от 0 до 3 ещё три; всего 4 + 3 = 7. Ответ: AB = 7.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать модуль отрицательного числа отрицательным, например записывать |−3| = −3. Так происходит, если забыть, что модуль — это расстояние, а не сама координата. Проверь себя: результат должен быть не меньше нуля, поэтому |−3| = 3.

• Ошибка: записывать |−a| = −a при любом a. Это правило работает, когда a ≥ 0, потому что тогда −a неотрицательно; если a < 0, знак результата может оказаться отрицательным. Подставь, например, a = −2: |−a| = |2| = 2, а −a = 2; для проверки общего правила сначала учитывай знак a.

• Ошибка: думать, что |a| всегда равно a. Это верно при a ≥ 0, но при a < 0 значение модуля равно −a. Перед вычислением выясни знак числа: например, |−7| = 7, а не −7.

• Ошибка: путать модуль числа с расстоянием между двумя числами. |a| — это расстояние от a до нуля, а расстояние между a и b равно |a − b|. Проверь, какие именно точки даны: для −2 и 5 нужно найти |5 − (−2)| = 7, а не просто модуль одной из координат.

Связь с другими темами

Для работы с модулем нужно уметь отмечать числа на координатной прямой и различать положительные числа, отрицательные числа и нуль. Знание координат помогает увидеть, почему модуль является расстоянием и почему он не бывает отрицательным. Это понятие пригодится при нахождении расстояний между точками на прямой. Позже модуль будет встречаться в уравнениях и неравенствах: при их решении важно учитывать, какое расстояние от нуля задаёт выражение под знаком модуля.

Что запомнить

• Модуль числа — расстояние от соответствующей точки до нуля.
• Модуль любого числа неотрицателен.
• Модуль положительного числа равен самому числу.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
• |0| = 0.
• Противоположные числа имеют равные модули.
• Расстояние между координатами a и b равно |a − b|.