28. Модуль числа

Определения и обозначения

Модуль числа |a| — это расстояние от точки с координатой a до начала отсчёта на координатной прямой. Например, если точка стоит на отметке 4, до нуля четыре единичных отрезка. Такое определение помогает понимать модуль не как действие со знаками, а как величину расстояния.

Запись |a| читают «модуль числа a». Модуль неотрицателен и равен нулю только при a = 0, потому что лишь начало отсчёта находится от самого себя на расстоянии ноль. Это свойство удобно проверять после вычислений: отрицательного ответа для модуля быть не может.

Противоположные числа a и −a имеют одинаковый модуль. Они находятся по разные стороны от нуля, но на равном расстоянии от него. Поэтому |a| = |−a|, и это равенство позволяет сравнивать расстояния, не обращая внимания на направление.

Как это устроено

Чтобы определить модуль положительного числа, нужно посмотреть, сколько единичных отрезков отделяют его точку от нуля. Для числа 6 это расстояние равно 6, значит, |6| = 6. У нуля расстояние до начала отсчёта равно нулю, поэтому |0| = 0.

Отрицательное число расположено слева от нуля, но расстояние до него всё равно считают числом единичных отрезков, а не направлением. Например, от точки −4 до нуля четыре отрезка, поэтому |−4| = 4. Число, противоположное −4, — это 4; именно оно и является модулем отрицательного числа.

Найти модуль координаты точки на прямой — значит определить расстояние от этой точки до начала отсчёта. Если точка находится справа от нуля, расстояние совпадает с координатой; если слева, оно совпадает с координатой, взятой с противоположным знаком. Результат не может быть отрицательным, потому что знак показывает направление, а расстояние — только удалённость.

Числа 5 и −5 имеют одинаковый модуль: обе точки удалены от нуля на пять единичных отрезков. Это объясняет, почему одинаково удалённые числа могут иметь разные знаки. Для любых противоположных чисел верно равенство |a| = |−a|.

Определение можно записать в виде двух случаев: |a| = a при a ≥ 0 и |a| = −a при a < 0. В первом случае число уже неотрицательно, поэтому его расстояние равно самому числу. Во втором случае смена знака превращает отрицательное число в положительное расстояние; например, при a = −3 получаем −a = 3.

График зависимости y = |x| показывает это правило для разных значений x. При x справа от нуля y совпадает с x, а слева — с противоположным ему числом, поэтому график расположен выше оси x или на ней. Точки для x и −x имеют одинаковую высоту: например, при x = 3 и x = −3 значение y равно 3.

На графике видно, что значение y не опускается ниже нуля, а минимум достигается при x = 0. Две ветви графика расположены симметрично относительно вертикальной оси. Это наглядно подтверждает, что противоположным значениям x соответствуют одинаковые модули.

Определение модуля числа

Сначала определите, положительное число, отрицательное или ноль, а затем выберите соответствующую строку. В примере для отрицательного числа нужно сменить знак, чтобы получить неотрицательное расстояние. После вычисления проверьте, что результат не меньше нуля.

Разбор задач

Задача 1. Найдите |7|, |0| и |−7|. Нужно рассмотреть расположение каждой точки относительно нуля. Числа 7 и −7 противоположны, поэтому их расстояния до начала отсчёта совпадают.

1. 7 находится справа от нуля на расстоянии 7, поэтому |7| = 7.
2. Ноль совпадает с началом отсчёта, значит, |0| = 0.
3. Число −7 находится слева от нуля на расстоянии 7, поэтому |−7| = 7.

Ответ: 7, 0 и 7. У противоположных чисел 7 и −7 получились равные модули. Это согласуется с тем, что расстояние не зависит от того, с какой стороны от нуля стоит точка.

Задача 2. Точка A имеет координату −4, а точка B — координату 3. Найдите расстояние от каждой точки до начала отсчёта. Координаты показывают места точек, а расстояния от них до нуля равны модулям координат. Поэтому нужно вычислить |−4| и |3|.

1. Точка A расположена слева от нуля на четыре единичных отрезка, значит, |−4| = 4.
2. Точка B расположена справа от нуля на три единичных отрезка, поэтому |3| = 3.
3. Запишем найденные расстояния отдельно для каждой точки.

Ответ: от точки A до начала отсчёта 4 единицы, от точки B — 3 единицы. Знак координаты помог определить сторону, но не изменил длину расстояния. Оба результата неотрицательны.

Задача 3. Найдите x, если |x| = 5, и объясните, почему получены два значения. Равенство означает, что точка с координатой x удалена от нуля на пять единиц. На прямой так расположены точка справа от нуля и точка слева от него.

1. Справа от нуля на расстоянии 5 находится точка с координатой 5, поэтому x = 5 подходит.
2. Слева от нуля на таком же расстоянии находится точка с координатой −5, поэтому x = −5 тоже подходит.
3. Проверим: |5| = 5 и |−5| = 5.

Ответ: x = 5 или x = −5. Два решения появились потому, что на заданном расстоянии от нуля есть две точки, если расстояние положительно. Их координаты противоположны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что модуль отрицательного числа остаётся отрицательным. Так думают, потому что путают знак числа с направлением точки на прямой; но модуль — расстояние, а оно не бывает меньше нуля. Проверьте ответ по смыслу: для числа −8 расстояние до нуля равно 8.

Ошибка: записывать |−a| = −a при любом a. Эта запись верна, только если a ≥ 0: например, при a = 3 получится |−3| = 3 = −a. Если a = −3, то |−a| = |3| = 3, а −a = 3; проверка условия не позволяет применять правило вслепую.

Ошибка: считать, что |a| всегда равно a. Это верно для a ≥ 0, но при отрицательном числе, например a = −6, получилось бы неверное равенство |−6| = −6. Перед применением правила выясните знак числа: при a < 0 нужно брать −a.

Ошибка: приравнивать |a| к нулю при любом отрицательном a. Отрицательная координата означает положение слева от нуля, а не нулевое расстояние. Проверьте на примере a = −2: модуль равен 2, и равен нулю он только при a = 0.

Связь с другими темами

Для работы с модулем нужно уметь отмечать числа на координатной прямой и находить координаты точек. По положению точки видно, находится число справа или слева от нуля, а длина отрезка до нуля даёт модуль. Это связывает числовые вычисления с геометрическим представлением.

Модуль помогает находить расстояния между точками и решать уравнения вида |x| = a. Например, если a положительно, решения такого уравнения обычно лежат по обе стороны от нуля. Понимание расстояния позволяет не пропустить одно из решений.

Позже модуль будет встречаться при сравнении чисел и в выражениях, содержащих модуль. Геометрический смысл помогает рассуждать о таких выражениях, а не только применять правило смены знака. Поэтому полезно помнить, что модуль описывает удалённость от нуля.

Что запомнить

• |a| — расстояние от числа a до нуля на координатной прямой.
• Модуль любого числа неотрицателен.
• |0| = 0.
• Если a ≥ 0, то |a| = a.
• Если a < 0, то |a| = −a.
• У противоположных чисел равные модули: |a| = |−a|.