§ 32. Модуль числа

Определения и обозначения

Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей число на числовой прямой, до начала координат, то есть до нуля. Например, точка числа 4 находится на расстоянии 4 единиц от нуля, поэтому модуль числа 4 равен 4. Это определение помогает воспринимать модуль не как отдельное действие, а как расстояние. Оно пригодится, когда нужно узнать, насколько число удалено от нуля.

Модуль числа a обозначают |a| и читают «модуль a». Вертикальные черты вокруг числа означают, что нас интересует его расстояние до нуля, а не знак числа. Поэтому модуль любого числа неотрицателен: он больше нуля или равен нулю. Например, запись |−3| означает расстояние от точки −3 до нуля, а не число с минусом.

Для числа a правило вычисления зависит от его знака: модуль положительного числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Так, |6| = 6 и |0| = 0, а |−6| = 6. При отрицательном числе противоположное ему число положительно, поэтому результат соответствует расстоянию. Это правило позволяет находить модуль, даже если числовую прямую не рисуют.

Противоположные числа отличаются только знаком и находятся на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому их модули равны. Например, числа 8 и −8 имеют модуль 8. Само расстояние не зависит от того, справа или слева от нуля расположена точка. Это объясняет равенство |a| = |−a|.

Как это устроено

На числовой прямой ноль служит началом отсчёта, а каждое число изображается точкой. Чтобы увидеть модуль числа, нужно измерить расстояние от этой точки до нуля: вправо или влево от нуля отсчитывают одинаковые единичные отрезки. Например, точка 3 находится в трёх единицах справа от нуля, а точка −3 — в трёх единицах слева. В обоих случаях расстояние равно 3, поэтому расстояние, а значит и модуль, не бывает отрицательным.

Для положительного числа точка расположена справа от нуля, и её координата уже равна расстоянию до нуля. Поэтому модуль положительного числа не меняет его значение. Ноль совпадает с началом отсчёта и удалён от самого себя на ноль единиц, так что |0| = 0. У отрицательного числа точка находится слева от нуля: расстояние до неё считают положительным числом, поэтому берут число, противоположное исходному.

Например, точки −2 и 2 равноудалены от нуля: до каждой нужно пройти две единицы. Значит, |−2| = |2| = 2. Точно так же |−7| = |7| = 7: смена знака переносит точку на другую сторону нуля, но не меняет расстояние. Поэтому противоположные числа имеют равные модули.

Одинаковый модуль не означает, что числа обязательно совпадают: числа −4 и 4 различны, хотя оба удалены от нуля на 4 единицы. Для ненулевого модуля обычно есть два числа с таким расстоянием — одно справа и одно слева. Если расстояние равно нулю, возможна только точка 0, поэтому ноль — единственное число с модулем 0.

На числовой прямой число не может располагаться дальше от нуля, чем расстояние до него: это расстояние и есть его модуль, поэтому a ≤ |a|. Для положительного числа число равно своему модулю, а для отрицательного модуль больше самого числа. Например, −4 < 4, то есть −4 < |−4|. Это можно проверить по расположению точек: отрицательное число находится слева от нуля, а его модуль — положительное расстояние.

График y = |x| показывает те же свойства для всех чисел x. При x ≥ 0 значение y совпадает с x, а при x < 0 значение y равно противоположному числу −x. Поэтому график состоит из двух лучей, сходящихся в точке (0; 0), и целиком расположен на уровне y ≥ 0. При x и −x высоты графика одинаковы, потому что этим числам соответствуют равные модули.

Модуль числа в зависимости от его знака

Сначала определите знак числа в первом столбце, затем прочитайте соответствующее правило во втором. Для отрицательного числа запись −a означает число, противоположное a, а не отрицательный результат модуля. Примеры в последнем столбце показывают, как правило работает с конкретными числами.

Разбор задач

Найдите |7|, |0| и |−7|.

В каждом случае сначала определим знак числа, заключённого между вертикальными чертами. Для положительного числа значение не меняется, а для нуля расстояние до самого себя равно нулю. Для отрицательного числа возьмём противоположное ему число.

1. Число 7 положительное, поэтому |7| = 7.
2. Число 0 равно нулю, поэтому |0| = 0.
3. Число −7 отрицательное, его противоположное число — 7, поэтому |−7| = 7.

Сравнение результатов показывает, что 7 и −7 имеют одинаковый модуль: они равноудалены от нуля. Ответ: |7| = 7, |0| = 0, |−7| = 7.

Расположите числа −4, 2, −1 и 5 в порядке возрастания их модулей.

Нужно сравнивать не сами числа, а расстояния от них до нуля. Сначала найдём модуль каждого числа, а затем расположим полученные неотрицательные значения по возрастанию. У чисел −4 и 2 разные модули, хотя одно из них отрицательное.

1. Находим модули: |−4| = 4, |2| = 2, |−1| = 1, |5| = 5.
2. Сравниваем значения 4, 2, 1 и 5: от меньшего к большему они идут так: 1, 2, 4, 5.
3. Возвращаемся к исходным числам: модулю 1 соответствует −1, модулю 2 — 2, модулю 4 — −4, модулю 5 — 5.

Обратите внимание: порядок исходных чисел по модулю не обязательно совпадает с порядком самих чисел на прямой. Ответ: −1, 2, −4, 5.

Найдите целые числа x, для которых |x| = 3, и изобразите их на числовой прямой.

Равенство |x| = 3 означает, что точка x находится ровно в трёх единицах от нуля. На прямой на таком расстоянии есть точка справа от нуля и точка слева от него. Их координаты противоположны.

1. Справа от нуля на три единицы находится число 3.
2. Слева от нуля на три единицы находится число −3.
3. Проверяем оба значения: |3| = 3 и |−3| = 3, значит, оба подходят.

Чтобы изобразить ответ, отметьте на числовой прямой ноль, а затем точки −3 и 3 на одинаковом расстоянии от него по разные стороны. Других точек с расстоянием 3 от нуля нет. Ответ: x = −3 или x = 3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать модуль отрицательным, например записывать |−6| = −6. Так происходит, если знак числа принимают за знак результата, хотя модуль описывает расстояние. Проверьте себя: расстояние не может быть меньше нуля, значит, |−6| = 6. На числовой прямой точка −6 удалена от нуля на шесть единиц.

Ошибка: находя модуль отрицательного числа, забывать изменить знак, например оставлять |−a| = −a при a > 0. Часто минус просто переносят из исходного числа, не вспоминая, что нужно найти противоположное ему число. Проверьте результат по определению: расстояние от −a до нуля равно a. Поэтому при a > 0 верно |−a| = a.

Ошибка: считать, что числа с одинаковыми модулями обязательно равны. Модуль показывает расстояние до нуля, но не сообщает, с какой стороны находится точка. Например, 5 и −5 — разные числа, хотя расстояние каждого от нуля равно 5. Для проверки сравните не только модули, но и знаки чисел.

Ошибка: думать, что модуль нуля не определён или равен единице. Ноль тоже изображается точкой, и эта точка находится от начала координат на расстоянии ноль. Поэтому |0| = 0. Проверка проста: ноль совпадает с началом отсчёта, значит, между ними нет ни одного единичного отрезка.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться с модулем, нужно уметь пользоваться числовой прямой, находить координату точки и различать положительные и отрицательные числа. Также важно знать, что противоположные числа отличаются знаками и равноудалены от нуля. Эти знания помогают понимать, почему модуль неотрицателен и как его вычислять.

Модуль пригодится при сравнении чисел и нахождении расстояния между точками на числовой прямой. Например, он помогает описать, насколько число удалено от нуля, не указывая направление. Позже это представление будет полезно при решении уравнений с модулем.

Что запомнить

• Модуль числа — это расстояние от соответствующей точки до начала координат.
• Модуль любого числа неотрицателен.
• |a| = a, если a ≥ 0.
• |a| = −a, если a < 0.
• |0| = 0.
• Противоположные числа имеют равные модули.