"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Рациональные числа можно записать обыкновенной дробью, а иррациональные — нельзя. К рациональным относятся целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби. Запись иррационального числа после запятой бесконечна и не повторяется по правилу. Например, √2 и π — иррациональные числа. Они нужны, чтобы точно описывать длины, которые не выражаются рациональными числами, например диагональ квадрата со стороной 1. Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n не равно нулю. Например, 3 = 3/1, а 0,75 = 3/4. Такое определение помогает объединить целые числа и разные дроби в одну группу.
Иррациональное число нельзя представить в виде дроби двух целых чисел с ненулевым знаменателем. Примеры таких чисел — √2 и π. Это понятие нужно, чтобы обозначать значения, которые нельзя точно выразить обыкновенной дробью.
Бесконечная непериодическая десятичная дробь — запись, в которой цифры после запятой не заканчиваются и не повторяются периодически. Например, десятичные цифры числа √2 идут без конца, но ни одна группа цифр не повторяется постоянно. По такой записи можно отличить иррациональное число от рационального.
Действительные числа — все рациональные и иррациональные числа вместе. Ими описывают значения, которым можно сопоставить точку на числовой прямой. Это позволяет работать на одной прямой и с дробями, и с числами вроде √2.
Любую конечную десятичную дробь можно переписать как обыкновенную. Например, 0,75 — это 75 сотых, то есть 75/100, или после сокращения 3/4. Число знаков после запятой определяет знаменатель: десятые записываются со знаменателем 10, сотые — 100, тысячные — 1000. Поэтому конечная десятичная запись всегда задаёт рациональное число.
У бесконечной периодической дроби повторяется одна и та же группа цифр, и такую запись также можно выразить дробью. Например, 0,121212… имеет период 12 и равна 12/99, то есть 4/33. Если же бесконечная запись не имеет периода, получить её из дроби двух целых чисел нельзя: десятичная запись рационального числа всегда конечна или периодична. Поэтому бесконечная непериодическая запись соответствует иррациональному числу.
Иррациональность √2 можно увидеть на примере квадрата со стороной 1. По теореме Пифагора квадрат диагонали равен 1² + 1² = 2, значит, диагональ равна √2. Если бы √2 можно было записать дробью, существовала бы пара целых чисел, отношение которых точно равно длине этой диагонали. Но доказательство показывает, что такой дроби нет: √2 нельзя представить отношением целых чисел.
У чисел √2 и π после запятой бесконечно много цифр, и они не образуют повторяющийся период. Поэтому на практике часто используют приближённые записи: √2 ≈ 1,414, π ≈ 3,14. Знак ≈ означает «приблизительно равно», а не точное равенство. Чтобы указать точное значение, оставляют обозначение √2 или π.
На числовой прямой рациональные числа не стоят отдельно от иррациональных: каждому действительному числу соответствует своё место. Например, √2 лежит между 1 и 2, а его точное положение можно построить по диагонали квадрата со стороной 1. Рациональные числа тоже расположены на этой прямой, но между любыми двумя соседними целыми есть и дробные значения. Вместе рациональные и иррациональные числа заполняют числовую прямую и образуют действительные числа.
| Признак | Рациональные числа | Иррациональные числа |
|---|---|---|
| Можно ли представить в виде дроби m/n | Да, где m и n — целые, n ≠ 0 | Нет |
| Вид десятичной записи | Конечная или бесконечная периодическая | Бесконечная непериодическая |
| Примеры | −3; 0,75; 0,121212… | √2; π |
| Место на числовой прямой | Соответствует точке на прямой | Соответствует точке на прямой |
Чтобы определить вид числа, сначала проверьте, можно ли записать его обыкновенной дробью. Если дана десятичная запись, посмотрите, заканчивается ли она или повторяется ли в ней период. Обе группы чисел имеют места на одной числовой прямой.
Задача 1. Определите, какие из чисел 0,75; −3; 0,121212…; √2 являются рациональными, а какие иррациональными. Проверим, можно ли каждое число выразить дробью двух целых чисел. Для десятичных записей отдельно отметим, конечны они или периодичны.
Ответ: 0,75; −3 и 0,121212… — рациональные числа, √2 — иррациональное.
Задача 2. Запишите число √5 с точностью до десятых и укажите, между какими целыми числами оно находится. Сначала сравним 5 с квадратами целых чисел, чтобы найти промежуток для корня. Затем уточним значение и округлим его до ближайшей десятой.
Ответ: √5 находится между 2 и 3; с точностью до десятых это 2,2.
Задача 3. Сторона квадрата равна 1 м. Объясните, почему его диагональ нельзя точно выразить рациональным числом, и укажите её приближённую длину до сотых. Для начала найдём длину диагонали по теореме Пифагора. Затем используем иррациональность √2 и округлим десятичное приближение.
Ответ: диагональ равна √2 м, это иррациональное число; приближённая длина до сотых — 1,41 м.
Ошибка — считать любое бесконечное десятичное число иррациональным. Так думают, потому что цифры после запятой не заканчиваются, но у рационального числа запись тоже может быть бесконечной: например, 0,121212… Проверяйте, повторяется ли группа цифр; если да, дробь периодическая и число рационально.
Длинную, но конечную запись иногда принимают за иррациональное число. Однако даже если после запятой много знаков, их конечное количество позволяет записать число дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Убедитесь, что запись действительно бесконечна, а не просто дана с большим числом знаков.
Неверно считать, что √a всегда иррационально. Например, √9 = 3, а 3 можно представить как 3/1, поэтому это рациональное число. Проверьте, является ли подкоренное число квадратом целого числа: если да, корень целый; если нет, это ещё не повод делать вывод без проверки.
Приближённую запись иррационального числа можно принять за точное значение. Например, 1,41 — не точное значение √2, а округление числа, десятичные цифры которого продолжаются дальше. Для точной записи оставляйте √2, а знак ≈ используйте для приближения. Так вы не перепутаете значение числа с его округлённой записью.
Для этой темы нужны знания об обыкновенных и десятичных дробях, целых числах, периодической записи и квадратах чисел. Они помогают определить, можно ли записать число дробью и как сравнить его с целыми числами. Иррациональные числа встречаются при изучении квадратных корней, длин отрезков и координат точек на числовой прямой. Объединение рациональных и иррациональных чисел в действительные подготовит к дальнейшему изучению числовых множеств.
Почему число называют иррациональным?
Его нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n не равно нулю. Название напоминает, что такое число не является отношением двух целых чисел.
Чем бесконечная периодическая дробь отличается от иррационального числа?
У периодической дроби одна и та же группа цифр повторяется снова и снова, поэтому её можно представить обыкновенной дробью. У иррационального числа десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода.
Как понять, является ли квадратный корень рациональным?
Если под корнем стоит квадрат целого числа, корень целый и потому рациональный: например, √9 = 3. Если число под корнем не является таким квадратом, корень может быть иррациональным, как √2 или √5.
Можно ли точно записать иррациональное число десятичной дробью?
Его десятичная запись продолжается бесконечно и не повторяется периодически, поэтому целиком записать её нельзя. Точное значение обозначают, например, символом √2, а десятичное число используют как приближение.
Где на числовой прямой находится число √2?
Число √2 находится между 1 и 2, потому что 1² < 2 < 2². Его точное место можно построить как длину диагонали квадрата со стороной 1, а приближённо оно равно 1,41.
"Неразумные" числа
