§ 31. Целые числа. Рациональные числа

Определения и обозначения

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль: например, 4, −4 и 0. Их часто располагают на координатной прямой: каждому числу соответствует точка, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Такое обозначение позволяет видеть не только сами числа, но и их порядок. Целые числа нужны, когда значения могут быть как больше нуля, так и меньше него.

Положительные числа — это числа, которые больше нуля, например 1, 5 и 12. Натуральные числа являются положительными целыми числами: они расположены справа от нуля и используются, например, для счёта предметов. Отдельно называть их положительными удобно, когда нужно различать значения по разные стороны от нуля. Сам нуль положительным числом не является.

Отрицательные числа меньше нуля и записываются со знаком «−» перед числом: −2, −7. Для каждого числа можно найти противоположное: у −7 это 7, а у 7 — −7. Числа отличаются знаком, а их точки находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Эта запись помогает показывать значения ниже нуля, например температуру −3 °C.

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. К ним относятся целые числа, например 3 = 3/1 и −5 = −5/1, и дробные числа, например 2/3 и −7/4. Такое определение объединяет целые и дробные числа в одну группу. Оно пригодится, когда нужно сравнивать или записывать величины в виде дробей.

Как это устроено

Натуральные числа позволяют считать предметы, но не описывают ситуацию, когда значение ниже выбранного нуля. Для температуры ниже нуля или долга нужны числа со знаком «−», а для точки отсчёта нужен нуль. Поэтому к натуральным числам добавили нуль и отрицательные числа. Так можно записать, например, и 5 градусов тепла, и 5 градусов мороза: это числа 5 и −5.

На координатной прямой нуль служит началом отсчёта: числа больше него размещают справа, а меньшие — слева. Направление связано со сравнением: двигаясь вправо, мы переходим к числам больше, а влево — к меньшим. Например, −1 находится правее −4, значит, −1 > −4. Расстояние от точки до нуля называют модулем числа; если число положительное, больший модуль означает большее число, а для отрицательных — наоборот: −6 < −2.

Противоположные числа расположены по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии. Поэтому их знаки разные: противоположное числу a — число −a, а противоположное числу −a — число a. Например, числа 8 и −8 равноудалены от нуля, но одно больше нуля, а другое меньше. У нуля нет пары с другим знаком: он сам себе противоположен.

Любое целое число можно представить дробью со знаменателем 1, потому что деление на 1 не меняет число. Например, −4 = −4/1, а 0 = 0/1. Следовательно, целые числа входят в множество рациональных, а не образуют отдельную от него группу. Это позволяет применять к целым числам правила записи и сравнения дробей.

Рациональные числа включают и целые, и дробные числа, если их можно записать в виде m/n. Одно и то же число может иметь несколько равных дробных записей: например, 1/2 и 2/4 обозначают одну величину. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число значение дроби не меняется. Поэтому разные записи не означают разные числа.

Виды рациональных чисел

Чтобы определить строку для числа, сначала проверь, целое ли оно, а затем сравни его с нулём. Дробные рациональные числа тоже можно расположить на прямой: положительные — справа, отрицательные — слева. Таблица показывает, что все перечисленные виды входят в рациональные числа.

Разбор задач

Расположение чисел и порядок возрастания

Расположите числа −3, 0, 2, −1 на координатной прямой и запишите их в порядке возрастания. Для этого удобно сначала отметить нуль, а затем определить, где будут положительные и отрицательные числа. Чем левее точка, тем меньше соответствующее число. Положительное число 2 окажется правее нуля, а отрицательные — слева.

1. Отметим 0 в начале отсчёта. Числа −3 и −1 разместим слева от него, а число 2 — справа.
2. Среди отрицательных чисел −3 левее −1, потому что оно дальше от нуля в отрицательную сторону. Значит, −3 < −1.
3. Нуль находится правее обоих отрицательных чисел, но левее 2. Читаем числа слева направо: −3, −1, 0, 2.

Ответ: на координатной прямой слева направо числа расположены так: −3, −1, 0, 2; порядок возрастания — −3, −1, 0, 2.

Противоположные числа и расстояние до нуля

Для чисел −7, 0 и 5 укажите противоположные числа и расстояние от каждого числа до нуля. Здесь нужно не смешать два разных действия: противоположное число меняет знак, а расстояние измеряется без учёта направления. Например, точка −7 удалена от нуля на 7 единиц. У нуля расстояние до самого себя равно нулю.

1. Меняем знак числа −7 и получаем противоположное число 7. Расстояние от −7 до нуля равно 7.
2. Противоположное числу 0 — это 0. Расстояние от нуля до нуля равно 0.
3. Противоположное числу 5 — это −5. Расстояние от 5 до нуля равно 5.

Ответ: для −7 противоположное число 7, расстояние 7; для 0 — 0 и расстояние 0; для 5 — −5 и расстояние 5.

Запись рациональных чисел дробями

Запишите числа −3, 0, 2,5 и 7/4 в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем; укажите, какие из них целые. Для целых чисел достаточно выбрать знаменатель 1. Десятичную дробь 2,5 можно представить обыкновенной дробью, а 7/4 уже записано в подходящем виде. В конце проверим, какие записи обозначают целые числа.

1. Записываем целые числа со знаменателем 1: −3 = −3/1 и 0 = 0/1.
2. Число 2,5 — это 25 десятых, поэтому 2,5 = 25/10. Знаменатель 10 натуральный, а числитель 25 целый.
3. Число 7/4 уже имеет целый числитель и натуральный знаменатель. Целыми из списка являются −3 и 0; 2,5 и 7/4 целыми не являются.

Ответ: −3 = −3/1, 0 = 0/1, 2,5 = 25/10, 7/4 = 7/4. Целые числа — −3 и 0.

Типичные ошибки

Нуль иногда считают положительным или отрицательным, потому что он стоит рядом с числами обоих знаков. Но положительные числа больше нуля, а отрицательные меньше него, поэтому нуль не относится ни к одной из этих групп. Проверь себя: число должно быть либо больше, либо меньше нуля, чтобы считаться положительным или отрицательным.

Можно перепутать число и противоположное ему: например, решить, что противоположное числу −a — это снова −a. На самом деле противоположное меняет знак, поэтому для −a это a. Ошибка возникает, если не следить за знаком перед числом. Проверка простая: противоположные числа должны находиться по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии.

Иногда думают, что отрицательное число с большим модулем больше. Модуль показывает расстояние до нуля, но на прямой отрицательные числа находятся слева: чем дальше точка влево, тем меньше число. Поэтому −9 < −2, хотя модуль 9 больше модуля 2. Чтобы проверить сравнение, представь числа на координатной прямой.

Целые числа могут ошибочно не включить в рациональные, потому что они выглядят не как дроби. Однако любое целое число можно записать со знаменателем 1: например, 6 = 6/1. Ошибка появляется, когда обращают внимание только на внешний вид записи. Проверь число по определению: если его можно представить дробью с целым числителем и натуральным знаменателем, оно рациональное.

Связь с другими темами

Перед этой темой полезно вспомнить натуральные числа: они понадобятся для счёта и для понимания положительных целых чисел. Также пригодятся обыкновенные дроби, чтобы представить рациональное число в виде m/n. Координатная прямая помогает изображать числа и сравнивать их по расположению. Если эти понятия знакомы, легче понять, почему целые числа входят в рациональные.

Рациональные числа понадобятся при сравнении чисел и выполнении действий с ними. С их помощью можно записывать изменения величин, например повышение или понижение температуры, а также решать задачи и уравнения. Умение представлять целые числа дробями помогает работать с ними по общим правилам. Позже эти навыки пригодятся при изучении новых числовых множеств.

Что запомнить

• Целые числа включают положительные целые числа, отрицательные целые числа и нуль.
• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Противоположные числа отличаются только знаком, а нуль противоположен самому себе.
• На координатной прямой меньше то число, которое расположено левее.
• Рациональное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.
• Каждое целое число является рациональным.