§ 30. Координатная прямая

Определения и обозначения

Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Это не просто линия с числами: все три выбора нужны, чтобы каждому числу соответствовало определённое место. По такой прямой удобно сравнивать числа и отмечать их.

Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0; её обозначают буквой O. От неё начинают отсчитывать расстояния в обе стороны. Без неё нельзя определить, где заканчивается ноль и начинается расположение остальных чисел.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Его длина задаёт, какое расстояние на прямой соответствует разнице в единицу между соседними числами. Одинаковые единичные отрезки помогают правильно разместить числа и измерять расстояния.

Координата точки — число, показывающее положение точки на координатной прямой. Например, запись A(3) означает, что точке A соответствует число 3. Координата нужна, чтобы точно назвать положение точки и отличать её от других точек.

Как это устроено

Чтобы каждой точке прямой можно было сопоставить число, сначала выбирают начало отсчёта и единичный отрезок. Начало отсчёта указывает, откуда вести счёт, а единичный отрезок задаёт масштаб. Если изменить длину единичного отрезка, расстояния между отметками на рисунке изменятся, хотя сами числа останутся прежними.

Положительное направление задаёт порядок чисел. Обычно его показывают стрелкой вправо: при движении в эту сторону координаты увеличиваются, а в обратную сторону — уменьшаются. Поэтому справа от нуля располагаются положительные числа, а слева — отрицательные: они меньше нуля и встречаются, когда от нуля движутся против положительного направления.

Числовые отметки получают, откладывая единичные отрезки от начала отсчёта в обе стороны. Один отрезок соответствует одному шагу по числам: от 0 вправо идут 1, 2, 3, а влево — −1, −2, −3. Отметки должны быть равноудалены, иначе расстояние между соседними числами перестанет соответствовать выбранной единице.

Координату точки записывают в скобках после обозначения точки: A(3) означает, что точка A стоит на отметке 3. Буква называет саму точку, а число сообщает её положение. Такая запись позволяет сразу понять, где искать точку, даже если на прямой отмечено несколько разных букв.

Расстояние от начала отсчёта до точки задаёт модуль её координаты, а направление от нуля — знак координаты. Например, точки с координатами 4 и −4 находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Поэтому расстояние не показывает знак, а координата показывает и расстояние, и сторону.

Чем правее расположена точка, тем больше её координата. Это следует из выбранного направления: при движении вправо числа возрастают, независимо от того, пересекает ли путь ноль. Так, −1 больше, чем −3, потому что точка −1 лежит правее точки −3.

Элементы координатной прямой

При чтении таблицы сначала найди нужный элемент, а затем посмотри, что он означает и как помогает работать с прямой. Чтобы проверить расположение точки, сверь её сторону от нуля со знаком координаты. Для измерения расстояния считай промежутки, а не отметки.

Разбор задач

Задача 1. На координатной прямой отметьте точку A(4). Нужно начать от нуля и пройти расстояние, соответствующее четырём единицам. Поскольку число положительное, движение выполняют вправо.

1. Найди на прямой начало отсчёта O с координатой 0.
2. Определи положительное направление: оно показано вправо.
3. Отложи от нуля четыре равных единичных отрезка вправо и поставь точку.
4. Подпиши точку A, так как её координата равна 4.

Ответ: точка A находится на отметке 4, справа от нуля. Проверь, что между нулём и точкой получилось четыре промежутка одинаковой длины. Если считать и нулевую отметку, можно ошибочно принять четыре промежутка за пять точек.

Задача 2. Отметьте точки B(−3) и C(2), затем найдите расстояние BC. Сначала расположим точки по знакам: B будет слева от нуля, а C — справа. Между ними нужно учесть путь по обе стороны от нуля.

1. Отметь B: от нуля отсчитай три единичных отрезка влево.
2. Отметь C: от нуля отсчитай два единичных отрезка вправо.
3. Посчитай промежутки между точками: три от B до нуля и два от нуля до C.
4. Сложи расстояния: BC = 3 + 2 = 5 единиц.

Ответ: BC = 5. При проверке можно сравнить координаты: от −3 до 0 — три единицы, от 0 до 2 — две, вместе получается пять. Ноль здесь не добавляет ещё одну единицу, потому что расстояние считают между промежутками.

Задача 3. Точка M расположена на 5 единиц левее точки A(−1). Найдите координату M. Направление движения известно, поэтому от координаты A нужно пройти влево на пять шагов. При каждом шаге влево координата уменьшается на единицу.

1. Найди координату точки A: она равна −1.
2. Отметь, что M лежит левее A, значит, её координата будет меньше −1.
3. От −1 отсчитай пять единичных отрезков влево: −2, −3, −4, −5, −6.
4. Последняя отметка и есть координата точки M.

Ответ: M(−6). Проверка: расстояние от −6 до −1 составляет пять единиц, а точка −6 действительно расположена левее. Если получилось число больше −1, значит, направление движения было выбрано неверно.

Типичные ошибки

Ошибка: откладывать отрицательное число вправо от нуля. Так происходит, если знак минус принимают за указание расстояния, забывая о направлении. Проверь себя: отрицательная координата должна находиться слева от нуля, а её модуль показывает число единичных отрезков.

Ошибка: считать отметки вместо промежутков. Между 0 и 3 находятся четыре отметки, включая 0 и 3, но расстояние равно трём единичным отрезкам. Чтобы проверить ответ, считай шаги от одной отметки до следующей, а не сами риски.

Ошибка: делить прямую на произвольные части и не соблюдать длину единичного отрезка. Обычно это случается, когда забывают, что одна единица должна иметь одну и ту же длину на всём чертеже. Убедись, что соседние целые отметки расположены на равном расстоянии и что выбранная единица не меняется.

Ошибка: путать координату и саму точку. Число −2 задаёт положение, но точку с таким положением можно назвать, например, A; запись A(−2) сообщает и имя, и координату. Проверь себя: буква обозначает точку, а число в скобках — её положение на прямой.

Связь с другими темами

Для работы с координатной прямой нужно различать положительные и отрицательные числа и узнавать их знаки. Она помогает сравнивать числа: расположенное правее число больше. Также с её помощью находят расстояние между точками и изучают модуль — расстояние от числа до нуля. Позже координатные оси пригодятся для построения графиков и задания точек на координатной плоскости.

Что запомнить

• На координатной прямой выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление.
• Началу отсчёта соответствует число 0.
• Положительные числа располагаются справа от нуля, отрицательные — слева.
• Координата точки показывает её положение на прямой.
• Расстояние от нуля до точки равно модулю её координаты.
• Чем правее точка на координатной прямой, тем больше её координата.