§ 29. Положительные и отрицательные числа

Определения и обозначения

Положительное число — число, которое больше нуля: например, 1, 6 или 25. Перед ним можно поставить знак «+»: +6. Такой знак подчёркивает, что число находится выше нуля, хотя обычно его не пишут.

Отрицательное число — число, которое меньше нуля. Перед ним обязательно ставят знак «−»: например, −1, −6 или −25. Этот знак нужен, чтобы отличить отрицательное число от соответствующего положительного: −6 и 6 находятся по разные стороны от нуля.

Нуль — число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Оно служит границей между числами этих двух видов. Это помогает точно описывать значения, которые не больше и не меньше нуля, например температуру ровно 0 градусов.

Координатная прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и выбранным положительным направлением. Начало отсчёта отмечают числом 0, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Числа изображают точками: положительные — в положительном направлении, отрицательные — в противоположном.

Как это устроено

Знаки нужны, когда одного числа недостаточно, чтобы описать значение относительно выбранного нуля. Например, температура +5 °C выше нуля, а −5 °C ниже; без знака нельзя понять, по какую сторону от нуля она находится. Так знаки позволяют различать противоположные значения, даже если расстояние от нуля у них одинаковое. Нуль становится точкой отсчёта для сравнения.

На координатной прямой положительное направление выбирают заранее и обычно показывают стрелкой вправо. Поэтому числа, расположенные в этом направлении от нуля, положительные. Отрицательное направление противоположно положительному, так что отрицательные числа находятся слева. Такое расположение не случайно: оно связывает знак числа с тем, в какую сторону от начала отсчёта нужно двигаться.

Чтобы отметить число, сначала находят нуль и проверяют, где находится нужная сторона. Затем от нуля откладывают столько единичных отрезков, сколько показывает число без знака; для отрицательного числа идут влево, для положительного — вправо. Например, для −3 надо пройти три единичных отрезка влево. Полученная точка и будет изображать число.

На прямой каждому числу соответствует только одна точка, потому что задано, где находится нуль, какова длина единичного отрезка и в какую сторону откладывают положительные числа. Если пройти от нуля заданное расстояние в нужном направлении, конец пути окажется в одном определённом месте. И наоборот, положение любой точки можно измерить от нуля: направление покажет знак, а расстояние — число единичных отрезков. Поэтому точке можно поставить в соответствие ровно одно число.

Число читают вместе со знаком: −7 — «минус семь», а +7 — «плюс семь». Если перед числом нет знака, обычно подразумевают знак «+», поэтому записи 7 и +7 равны по значению. Знак «−» опускать нельзя: без него запись −7 превратилась бы в 7, то есть в другое число. При чтении важно не путать знак числа с обозначением действия вычитания.

Положительные и отрицательные числа

В таблице собраны признаки трёх случаев: положительного числа, отрицательного числа и нуля. Сравнение с нулём помогает определить вид числа, а знак и расположение на прямой позволяют проверить этот вывод. Пользуйся строками вместе: так проще заметить, если запись и положение не соответствуют друг другу.

Разбор задач

Задача 1. Запишите число, которое на 4 единицы меньше нуля, и укажите его знак. Нужно понять, в какую сторону от нуля ведёт условие: «меньше нуля» означает движение влево по координатной прямой. Число 4 указывает расстояние, а направление определяет знак.

1. Начинаем отсчёт от нуля.
2. Так как число меньше нуля, выбираем левую сторону.
3. Отступаем на четыре единичных отрезка и записываем знак «−» перед числом 4.

Ответ: −4, число отрицательное. Проверка: −4 действительно меньше нуля.

Задача 2. Отметьте на координатной прямой числа −3, 0 и 2. Удобно сначала поставить начало отсчёта и выбрать единичный отрезок, чтобы шаги были одинаковыми. Затем отрицательное число откладываем влево, а положительное — вправо.

1. Отмечаем точку 0, а справа от неё — направление положительных чисел.
2. От нуля откладываем три единичных отрезка влево и ставим точку −3.
3. Точку 0 оставляем в начале отсчёта, а два единичных отрезка вправо отмечаем точку 2.

Ответ: −3 находится на три единичных отрезка левее нуля, 0 — в начале отсчёта, а 2 — на два отрезка правее. Проверь направление: отрицательное число слева, положительное справа.

Задача 3. Точка A расположена на координатной прямой на 5 единиц левее нуля, а точка B — на 4 единицы правее. Запишите координаты точек и определите, какая из них соответствует положительному числу. Слово «левее» указывает на отрицательное направление, а «правее» — на положительное.

1. Для точки A берём расстояние 5 и ставим знак «−», потому что она слева от нуля.
2. Для точки B берём расстояние 4; справа от нуля означает положительное число.
3. Записываем координаты точек и проверяем их положение относительно нуля.

Ответ: координата точки A — −5, координата точки B — 4. Положительному числу соответствует точка B.

Типичные ошибки

Некоторые считают нуль положительным или отрицательным числом, потому что он стоит рядом с обеими группами. Но положительное число должно быть больше нуля, а отрицательное — меньше; нуль равен самому себе. Проверь себя сравнением: ни одно из этих условий для нуля не выполняется.

Иногда отрицательные числа ставят справа от нуля, принимая правую сторону за обязательное направление для любых чисел. Однако координатная прямая задаёт положительное направление, и при обычном расположении оно направлено вправо. Отрицательные числа идут в противоположную сторону — влево. Проверь стрелку и положение нуля перед тем, как отмечать точки.

Число меньше нуля могут записать без знака «−», например вместо −4 написать 4. Так меняется само число: 4 больше нуля, а −4 меньше. Ошибку допускают, если ориентируются только на расстояние и забывают про направление. Для проверки спроси себя, с какой стороны от нуля находится число, и поставь соответствующий знак.

Знак «+» перед каждым положительным числом иногда считают обязательным. Его действительно можно написать, но обычно опускают, если запись понятна: 6 и +6 — одно число. Эта ошибка возникает из-за стремления ставить перед любым числом явный знак. Проверь, не появилось ли лишнее правило: отсутствие знака у числа означает положительное число, а не отсутствие значения.

Связь с другими темами

Для работы с положительными и отрицательными числами пригодятся сравнение натуральных чисел, понимание нуля и умение пользоваться числовым лучом. На луче отсчёт начинается с нуля и идёт в одну сторону, а координатная прямая продолжается в обе стороны. Поэтому прежние знания помогают понять начало отсчёта и единичный шаг.

Знаки понадобятся при изучении координат: они показывают, по какую сторону от начала отсчёта расположено число. Они также помогают сравнивать числа и выполнять действия с числами разных знаков. Понимание положения чисел на прямой даёт наглядную опору для этих следующих тем.

Что запомнить

• Положительное число больше нуля.
• Отрицательное число меньше нуля.
• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• На координатной прямой положительные числа находятся справа от нуля.
• На координатной прямой отрицательные числа находятся слева от нуля.
• Знак «−» перед числом указывает, что оно отрицательное.
• Знак «+» перед положительным числом обычно не записывают.