1. Положительные и отрицательные числа

Определения и обозначения

Положительное число — число, большее нуля: 1, 4, 12. Перед ним можно поставить знак «+», но обычно его не пишут: записи +7 и 7 равны. Такое обозначение удобно, потому что отсутствие знака уже означает «плюс».

Отрицательное число — число, меньшее нуля: −2, −5, −10. Перед ним обязательно ставят знак «−», чтобы показать его положение относительно нуля. Например, запись −6 означает число, расположенное на шесть единичных отрезков левее нуля.

Противоположные числа — числа, которые отличаются только знаками: 3 и −3, 8 и −8. Они удалены от нуля на одинаковое расстояние, поэтому при сложении взаимно погашают друг друга: −4 + 4 = 0. Это помогает быстро находить результат некоторых действий.

Координатная прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и выбранным положительным направлением, на которой числам соответствуют точки. Начало отсчёта обычно обозначают числом 0. Координатная прямая позволяет увидеть порядок чисел и расстояния между ними.

Как это устроено

Некоторые величины могут быть меньше условного нуля, поэтому одних натуральных чисел недостаточно. Температура −7 °C означает семь градусов ниже нуля, а долг −500 рублей показывает, что нужно вернуть деньги. Высота −3 м может означать точку на три метра ниже принятого уровня, например ниже уровня моря. Отрицательное число не означает, что величина исчезла: оно показывает её сторону относительно выбранного нуля.

На координатной прямой сначала отмечают ноль и выбирают положительное направление, обычно вправо. Все положительные числа оказываются справа от нуля, а отрицательные — слева, потому что их величина меньше нуля. Чем дальше точка находится вправо, тем больше соответствующее число; чем дальше влево, тем оно меньше. Поэтому −5 расположено левее −2, а 3 — правее 1.

Каждой точке координатной прямой соответствует одно число — её координата. Чтобы найти точку по числу, от начала отсчёта откладывают столько единичных отрезков, сколько показывает число: для 4 идут на четыре отрезка вправо, для −4 — на четыре влево. Чтобы определить координату уже отмеченной точки, считают расстояние от нуля и учитывают сторону. Справа записывают знак «+» или ничего, слева обязательно ставят «−».

Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, потому что у них одинаковая числовая величина без учёта знака, но разные направления. Поэтому точки −3 и 3 симметричны относительно начала координат, а их сумма равна нулю: −3 + 3 = 0. У нуля нет стороны и отличительного знака, поэтому число, противоположное нулю, — сам ноль. Знак числа нужно отличать от знака действия: в записи −5 знак показывает свойство числа, а в записи 8 − 5 знак между числами обозначает вычитание.

Положительные, отрицательные числа и ноль

Сначала определите строку по сравнению числа с нулём. Затем проверьте расположение: это помогает заметить ошибку в знаке. Для пары противоположных чисел сравните расстояния до нуля и убедитесь, что знаки разные.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел −7, 0, 4, −1, 9 являются положительными, отрицательными или не относятся ни к тем ни к другим.

1. Сравним −7 с нулём: −7 < 0, значит, это отрицательное число.
2. Число 0 равно нулю, поэтому оно не является ни положительным, ни отрицательным.
3. Числа 4 и 9 больше нуля, значит, они положительные.
4. Число −1 меньше нуля, значит, оно отрицательное.

Ответ: положительные числа — 4 и 9; отрицательные — −7 и −1; 0 не относится ни к одной группе.

Задача 2. Отметьте на координатной прямой числа −3, 0 и 2, если единичный отрезок равен 1 см.

1. Выберем направление вправо как положительное и отметим начало отсчёта 0.
2. Для числа 2 отложим от нуля два отрезка по 1 см вправо.
3. Для числа −3 отложим три таких отрезка влево, потому что число отрицательное.
4. Проверим расстояния: точка 2 находится в 2 см справа, а точка −3 — в 3 см слева от нуля.

Ответ: −3 отмечают на 3 см слева от 0, 0 — в начале отсчёта, 2 — на 2 см справа от 0.

Задача 3. Точка A имеет координату −4. Найдите координату точки, симметричной ей относительно начала координат.

1. Симметричная точка должна находиться от нуля на таком же расстоянии, как A, то есть на 4 единичных отрезках.
2. Точка A расположена слева от нуля, поэтому симметричная точка будет справа.
3. Справа от нуля четыре отрезка соответствуют числу 4.

Ответ: координата симметричной точки — 4; числа −4 и 4 являются противоположными.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать ноль положительным или отрицательным числом. Так происходит, когда забывают сравнить число с самим собой: 0 не больше и не меньше 0. Проверка проста: положительное число должно быть строго больше нуля, отрицательное — строго меньше.

Ошибка 2. Путать знак числа со знаком действия. В записи −5 знак «−» показывает, что число отрицательное, а в записи 9 − 5 он обозначает вычитание. Проверьте, стоит ли знак перед одним числом или между двумя числами.

Ошибка 3. Помещать отрицательные числа вправо от нуля. При выбранном направлении вправо положительными считаются числа справа, поэтому отрицательные располагаются слева. Сверьте положение с неравенством: если точка левее нуля, её координата меньше 0.

Ошибка 4. Называть число −a противоположным самому себе. Противоположное число должно иметь другой знак, поэтому для −a это a. Исключение только одно: у нуля противоположное число совпадает с ним.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь сравнивать натуральные числа, понимать числовую прямую и откладывать единичные отрезки. Эти навыки помогают правильно отмечать числа и определять, какое из них больше.

Отрицательные числа понадобятся при сравнении чисел, выполнении действий с ними и решении уравнений. Например, знание противоположных чисел помогает находить неизвестное слагаемое.

Положительные и отрицательные числа описывают координаты, температуру, высоту и изменение величин. Один и тот же принцип — выбор нуля и направления — встречается в разных задачах.

Что запомнить

• Положительные числа больше нуля.
• Отрицательные числа меньше нуля.
• Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Положительные числа располагаются справа от нуля, отрицательные — слева.
• Противоположные числа имеют равные модули и разные знаки.
• Число, противоположное нулю, — ноль.