§ 1. Понятие рационального числа.

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Например, 3/4 и −2/3 — рациональные числа. Это определение помогает понять, какие числа входят в одну общую группу.

Целое число — натуральное число, противоположное ему число или нуль. Любое целое число можно записать как дробь со знаменателем 1: например, 5 = 5/1. Такая запись показывает, что целые числа тоже входят в множество рациональных.

Положительное рациональное число — рациональное число, которое больше нуля. Например, 3/4 положительно. Это название нужно, чтобы отличать числа, расположенные правее нуля на координатной прямой.

Отрицательное рациональное число — рациональное число, которое меньше нуля. Например, −3/4 отрицательно. Это название помогает выделить числа, расположенные левее нуля на координатной прямой.

Как это устроено

Запись m/n объединяет целые числа и дроби, потому что целое число можно представить как m/1. Например, 7 = 7/1, а −2 = −2/1. При делении на 1 число не меняется, поэтому дробная запись сохраняет его значение. Так все числа, подходящие под определение, можно описывать одним способом.

В знаменателе берут натуральное число, потому что оно должно показывать, на сколько равных частей разделено целое. Натуральные числа положительны, поэтому знаменатель не меняет знак числа. Нуль исключают: деление на нуль не определено, и дробь с таким знаменателем не имеет значения. Поэтому в записи m/n знаменатель обязательно должен быть отличен от нуля.

Одно и то же число иногда имеет несколько дробных записей. Например, 1/2 и 2/4 обозначают одинаковую часть целого: во втором случае числитель и знаменатель первой дроби умножили на 2. Значение дроби при этом не изменилось. Поэтому для проверки рациональности важно найти подходящую дробь, а не требовать, чтобы у числа была только одна запись.

При положительном знаменателе знак дроби задаёт числитель. Если числитель больше нуля, дробь больше нуля; если он меньше нуля, дробь меньше нуля. Если числитель равен нулю, всё число равно нулю. Именно поэтому для определения знака достаточно посмотреть на числитель, когда знаменатель натуральный.

Нуль тоже подходит под определение рационального числа: его можно представить дробью 0/1. Числитель 0 является целым числом, а знаменатель 1 — натуральным. При этом сам нуль не является ни положительным, ни отрицательным, потому что он не больше и не меньше нуля. Он стоит между положительными и отрицательными числами.

Рациональные числа и их записи

Чтобы пользоваться таблицей, сначала проверь, что знаменатель натуральный, а затем определи знак числителя. Положительный числитель даёт положительное число, отрицательный — отрицательное. Если числитель равен нулю, число равно нулю и не относится ни к одной из двух строк.

Разбор задач

Запишите число 5 в виде дроби со знаменателем 1 и объясните, почему оно рациональное.

1. По определению рациональное число должно иметь вид m/n, где числитель целый, а знаменатель натуральный.
2. Запишем число 5 как дробь 5/1. Деление 5 на 1 не меняет число.
3. Число 5 — целое, а 1 — натуральное, значит, эта запись подходит под определение.

Ответ: 5 = 5/1, поэтому 5 — рациональное число.

Определите, какие из чисел −2/3, 0, 7/5, −4 являются положительными, отрицательными и равными нулю.

1. Проверим знак каждого числа. У дроби −2/3 числитель отрицательный, а знаменатель положительный, поэтому число отрицательное.
2. Число 0 равно нулю. У дроби 7/5 числитель положительный, значит, это положительное число.
3. Число −4 — целое, но его можно записать как −4/1. Оно меньше нуля и потому отрицательное.

Ответ: положительное число — 7/5; отрицательные числа — −2/3 и −4; нулю равно число 0.

Для каждого числа 0, −6 и 3/8 приведите дробь вида m/n и обоснуйте, что число рациональное.

1. Для нуля подходит запись 0/1: числитель целый, знаменатель натуральный.
2. Число −6 запишем как −6/1. Это равенство верно, потому что деление на 1 не меняет число.
3. Число 3/8 уже имеет нужный вид: 3 — целое, а 8 — натуральное. Все три числа представлены дробями с требуемыми числителем и знаменателем.

Ответ: 0 = 0/1, −6 = −6/1, 3/8 = 3/8; все эти числа рациональные.

Типичные ошибки

• Иногда считают, что рациональные числа — только обыкновенные дроби. Так происходит, если забыть, что целое число можно записать как дробь со знаменателем 1. Проверь себя: для любого целого числа a запиши a/1.

• Некоторые допускают знаменатель 0, например записывают m/0. Это ошибка, потому что деление на нуль не определено. Проверяй знаменатель: он должен быть натуральным и не равняться нулю.

• Можно ошибочно считать, что знак дроби задаёт знаменатель. В определении знаменатель натуральный, то есть положительный, поэтому знак определяет числитель. Для самопроверки сравни числитель с нулём.

• Нуль иногда не относят к рациональным числам, потому что он не положительный и не отрицательный. Но эти признаки не отменяют определения: 0 = 0/1. Проверь, что числитель целый, а знаменатель натуральный.

Связь с другими темами

Перед изучением рациональных чисел полезно знать целые числа, обыкновенные дроби и уметь определять знак числа. Эти знания нужны, чтобы понимать числитель, знаменатель и положение числа относительно нуля. Рациональные числа пригодятся при сравнении чисел и выполнении действий с дробями. Их также отмечают на координатной прямой, где положительные числа находятся справа от нуля, а отрицательные — слева.

Что запомнить

• Рациональное число можно представить в виде m/n, где m — целое, n — натуральное.
• Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю.
• Любое целое число является рациональным.
• Нуль — рациональное число.
• Рациональные числа бывают положительными, отрицательными и равными нулю.