"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорциональное деление помогает распределить общее количество на части так, чтобы их отношение совпадало с заданным. Например, отношение 3:4 означает, что первая часть состоит из трёх одинаковых долей, а вторая — из четырёх. Чтобы найти части, складывают числа отношения, делят на их сумму общее количество, а затем умножают результат на каждый член отношения. Это правило работает и для двух частей, и для большего числа частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пропорциональное деление — разделение числа или величины на части, отношение которых равно заданному отношению. Например, разделить 21 в отношении 2:5 — значит найти две части, первая из которых относится ко второй как 2 к 5. Это действие используют, когда количество нужно распределить не поровну, а по заданным долям.
Пропорциональные части — части, полученные при делении общего количества на доли, заданные числами отношения. В отношении 2:5 первая часть содержит две одинаковые доли, а вторая — пять таких же долей. Это представление помогает увидеть, как связаны части и сколько их всего.
Коэффициент пропорциональности — величина одной условной доли, на которую умножают каждый член заданного отношения. Если одна доля равна 3, то частям в отношении 2:5 соответствуют количества 2 · 3 и 5 · 3. Зная коэффициент, можно восстановить каждую часть.
Отношение частей — запись того, во сколько раз одна часть больше или меньше другой. Например, запись 2:5 показывает, что на каждые две доли первой части приходятся пять долей второй. По отношению можно сравнить части, даже если их конкретные значения пока неизвестны.
Пусть число N нужно разделить в отношении a:b. Числа a и b не обозначают сами части: они показывают, сколько одинаковых условных долей в каждой из них. Поэтому первую часть можно представить как a долей, а вторую — как b долей одинаковой величины. Такое представление сохраняет заданное отношение и позволяет работать с долями вместо неизвестных частей.
Всего в обеих частях будет a+b условных долей. Если величина одной доли равна k, то общее число N состоит из a+b таких долей, то есть N = k(a+b). Отсюда k = N/(a+b). Значит, общее количество делят именно на сумму членов отношения: она показывает, сколько долей нужно уместить в числе N.
Когда величина одной доли найдена, каждую часть получают умножением k на соответствующий член отношения: первая равна ak, вторая — bk. Их сумма равна ak+bk = k(a+b) = N, поэтому всё исходное количество распределено. А отношение частей равно ak:bk, которое после сокращения на общий множитель k становится a:b.
Для отношения a:b:c рассуждение такое же: всего имеется a+b+c равных долей, поэтому одна доля равна N/(a+b+c). Умножив её соответственно на a, b и c, получают три части. Если частей больше, складывают все числа отношения и умножают величину одной доли на каждый из них. Правило не меняется — увеличивается только число слагаемых.
Проверять результат нужно двумя способами. Сумма найденных частей должна дать исходное количество, иначе часть могла потеряться или появиться лишней. Кроме того, отношение частей должно совпасть с заданным: это подтверждает, что распределение выполнено пропорционально.
| Что дано | Сумма долей | Величина одной доли | Искомые части |
|---|---|---|---|
| N разделить в отношении a:b | a+b | N/(a+b) | Na/(a+b) и Nb/(a+b) |
| N разделить в отношении a:b:c | a+b+c | N/(a+b+c) | Na/(a+b+c), Nb/(a+b+c), Nc/(a+b+c) |
| Даны две части в отношении a:b и их общая сумма N | a+b | N/(a+b) | Na/(a+b) и Nb/(a+b) |
| Даны две части в отношении a:b, где b>a, и их разность D | b−a | D/(b−a) | aD/(b−a) и bD/(b−a) |
В таблице N обозначает общее количество, а a, b и c — числа заданного отношения. Сначала выбери строку, подходящую к условию, и найди величину доли. Затем вычисли части, умножая эту величину на соответствующие числа отношения.
Числа 3 и 4 показывают, сколько одинаковых долей составляют первая и вторая части. Поэтому сначала найдём общее число долей, а затем определим, сколько приходится на одну долю. После этого останется восстановить обе части и проверить результат.
Ответ: 36 и 48. Части в сумме дают 84, а их отношение совпадает с заданным. Значит, число разделено правильно.
Здесь нужно найти три части, а числа 2, 3 и 5 показывают их количество условных долей. Нельзя делить деньги только на число участников: доли у них неодинаковые. Сначала найдём общее число долей, затем определим стоимость одной доли.
Ответ: 240 рублей, 360 рублей и 600 рублей. Их отношение 240:360:600 сокращается на 120 и даёт 2:3:5. Значит, каждому выделена нужная доля общей суммы.
Общая сумма чисел неизвестна, зато известна разность. Второе число больше первого на 7 − 5 = 2 условные доли, поэтому 18 соответствуют именно двум долям. Так можно найти величину одной доли и затем оба числа.
Ответ: 45 и 63. Разность и отношение совпали с условиями задачи. Значит, найденные числа подходят.
Ошибка: делить общее число на первый или второй член отношения вместо суммы всех членов. Так поступают, путая число долей с величиной одной части. Проверка проста: сначала сложи все числа отношения, ведь именно столько одинаковых долей содержится во всём количестве.
Ошибка: умножить величину одной доли не на тот член отношения. Тогда части поменяются местами, хотя их сумма может остаться правильной. Чтобы проверить себя, сопоставь каждую часть со своим числом отношения: части в отношении 3:4 должны быть равны соответственно трём и четырём долям.
Ошибка: изменить отношение только у одной части, например сократить один член или записать его вместо другого. Отношение задаёт совместное соотношение частей, поэтому менять числа по отдельности нельзя. Сокращать можно все члены отношения на одно и то же число, а проверять нужно отношение уже найденных частей целиком.
Ошибка: не проверять ответ. Даже при верных вычислениях можно пропустить часть или перепутать её; тогда сумма не совпадёт с исходным количеством либо части не будут иметь нужного отношения. После решения сложи части и сравни их отношение с заданным, сократив его при необходимости.
Для пропорционального деления понадобятся понятия отношения и пропорции, умение работать с дробями и выполнять действия с натуральными числами. Эти навыки помогают вычислять величину доли и проверять результат. Позже правило пригодится в задачах на проценты, масштаб, смеси и распределение величин, где количества связаны заданным соотношением. Оно также связано с прямой пропорциональностью и нахождением неизвестного члена пропорции: во всех этих случаях важно сохранять заданное отношение величин.
Почему общее число нужно делить именно на сумму членов отношения?
Члены отношения показывают, сколько одинаковых условных долей приходится на каждую часть. Всего таких долей столько, сколько составляет сумма членов отношения. Поэтому общее число делят на эту сумму, чтобы узнать величину одной доли.
Как разделить число в отношении, если оно не делится на сумму членов отношения нацело?
Можно получить дробную величину одной доли: например, 10 : (2 + 3) = 2. Затем умножить её на каждый член отношения. Части могут быть дробными, если по условию это допустимо.
Можно ли сначала сократить заданное отношение?
Да, если все члены отношения делятся на одно и то же число без остатка. Например, 6:9 можно заменить отношением 2:3. Части при этом не изменятся, потому что сохраняется их соотношение.
Как решать задачу, если дана не сумма частей, а их разность?
Найдите, на сколько условных долей одна часть больше другой: для отношения a:b, где b > a, это b − a. Разделите данную разность на число таких долей, а затем умножьте величину одной доли на a и b.
Как проверить, что найденные части действительно пропорциональны?
Сначала сложите части: сумма должна совпасть с общим количеством. Затем сравните отношение частей с заданным, при необходимости сократив оба отношения. Если совпадают и сумма, и отношение, решение проверено.
5. Пропорциональное деление
