"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорциональное деление помогает распределить общую величину на части так, чтобы они относились друг к другу заданным образом. Например, отношение 2:3 означает, что первая часть состоит из двух одинаковых условных долей, а вторая — из трёх. Чтобы найти части, складывают числа отношения, делят на эту сумму общую величину и умножают результат на каждое число отношения. Так распределяют деньги, длины, объёмы и другие величины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пропорциональное деление — это разделение величины на несколько частей так, чтобы их отношения совпадали с заданным отношением. Например, при отношении 2:3 одна часть должна быть в полтора раза больше другой. Это правило нужно, когда требуется распределить общее количество не поровну, а в указанном соотношении.
Отношение частей — запись, которая показывает, во сколько раз одна часть больше или меньше другой. Например, запись 2:3 означает, что на каждые две условные доли первой части приходятся три такие же доли второй. Отношение помогает описать, как части должны соотноситься, даже если их точные величины пока неизвестны.
Числа пропорционального деления — числа, задающие отношение между искомыми частями. В отношении 2:3 это числа 2 и 3: они показывают количество одинаковых условных долей в каждой части. По ним можно восстановить размеры частей, если известна их общая величина.
Коэффициент пропорциональности — величина одной условной доли. Его находят делением общей величины на сумму чисел отношения, потому что все доли вместе составляют целое. Зная коэффициент, легко вычислить каждую часть: достаточно умножить его на соответствующее число отношения.
Пусть величину делят в отношении 2:3, а сами части пока неизвестны. Представим одну условную долю буквой k: тогда первая часть состоит из двух таких долей и равна 2k, а вторая состоит из трёх и равна 3k. Так мы сохраняем заданное отношение, потому что обе части построены из одинаковых долей.
Чтобы найти k, сначала складывают числа отношения: 2 + 3 = 5. Это число показывает, сколько одинаковых условных долей содержится во всей величине. Если общее количество равно a, то на одну долю приходится a / 5, поэтому коэффициент пропорциональности равен общей величине, делённой на сумму чисел отношения.
Когда коэффициент найден, его умножают на число долей, которое соответствует каждой части. При отношении 2:3 части равны 2k и 3k; первая получается умножением k на 2, а вторая — умножением k на 3. Порядок важен: числа отношения нужно применять к частям в том же порядке, в каком они названы.
Сумма найденных частей должна совпадать с исходной величиной. Ведь все условные доли вместе составляют целое, и ни одна его часть не должна потеряться или добавиться. Поэтому сложение — удобная проверка: если сумма не совпала, нужно проверить вычисления и то, правильно ли составлено отношение.
Для трёх и более частей действует та же логика. Например, при отношении m:n:k всего условных долей m + n + k, а каждая часть равна коэффициенту, умноженному на своё число отношения. Сначала находят коэффициент делением общей величины на сумму всех чисел, затем вычисляют части по порядку. Число частей меняется, но способ остаётся тем же.
| Ситуация | Сумма чисел отношения | Коэффициент пропорциональности | Формулы искомых частей | Проверка |
|---|---|---|---|---|
| Деление величины a в отношении m:n | m + n | a / (m + n) | m · k и n · k | Сумма частей равна a |
| Деление величины a в отношении m:n:k | m + n + k | a / (m + n + k) | m · c, n · c и k · c | Сумма трёх частей равна a |
| Нахождение двух частей по общей сумме и их отношению | Сумма чисел отношения | Общая сумма / сумма чисел отношения | Каждое число отношения умножают на коэффициент | Сложить найденные части |
| Проверка результата сложением найденных частей | — | — | Сложить все полученные части | Результат должен быть равен a |
В таблице k и c обозначают коэффициент пропорциональности, а буквы m, n и k в отношении — заданные числа долей. Сначала выберите строку по числу частей, затем найдите сумму чисел отношения и коэффициент. После вычисления частей обязательно выполните проверку сложением.
Задача 1. Разделить число 120 в отношении 2:3. Сначала нужно понять, сколько условных долей составляют обе части вместе, а затем определить значение одной доли. После этого по числам отношения найдём каждую часть и проверим их сумму.
Ответ: 48 и 72. Первая часть меньше, потому что ей соответствуют две доли, а второй — три; отношение 48:72 действительно сокращается до 2:3.
Задача 2. Отрезок длиной 42 см разделили на три части в отношении 2:3:4. Требуется найти длину каждой части. Здесь общая длина распределена между тремя отрезками, поэтому нужно учесть все три числа отношения, а не только два первых.
Ответ: 9⅓ см, 14 см и 18⅔ см. Дробные значения допустимы: условие не требует, чтобы длины частей были целыми числами сантиметров.
Задача 3. Трое участников получили 5600 рублей пропорционально вкладам 3, 4 и 7 тысяч рублей. Значит, деньги нужно распределить в отношении 3:4:7: вклад каждого задаёт соответствующее число долей. Сначала найдём общее число долей, затем стоимость одной доли в рублях.
Ответ: первый участник получил 1200 рублей, второй — 1600 рублей, третий — 2800 рублей. Размер выплат следует порядку вкладов 3, 4 и 7 тысяч рублей.
Ошибка: общую величину делят на одно из чисел отношения, не складывая все числа. Так поступают, когда забывают, что целое состоит из долей каждой части, а не только первой. Для отношения 2:3 всего долей пять, поэтому делить нужно на 5. Проверьте себя вопросом: учтены ли в знаменателе все части?
Ошибка: коэффициент приписывают только одной части или меняют числа отношения местами. Обычно это происходит из-за потери соответствия между порядком частей и порядком чисел. Запишите части по порядку как 2k и 3k, если задано отношение 2:3. Затем проверьте, что каждая часть умножена на своё число.
Ошибка: сумма полученных частей не равна исходной величине. Причиной может быть неверное умножение, сложение или составление отношения. Сложите все части и сравните результат с целым; несовпадение означает, что вычисления нужно перепроверить. Такая проверка особенно полезна, если ответ состоит из нескольких дробей.
Ошибка: вместо суммы чисел отношения используют их разность. Это может показаться подходящим, если ученик ищет, насколько части отличаются, но разность показывает лишь разницу между долями. Общую величину составляют все доли вместе, поэтому коэффициент находят делением на сумму. Для проверки посчитайте общее число долей в отношении.
Для пропорционального деления нужно уметь находить отношение чисел, делить величину на равные части и пользоваться свойствами пропорции. Эти знания помогают понять, почему заданные числа показывают количество одинаковых долей. Способ пригодится в задачах о смесях, распределении денег, длинах отрезков, объёмах работы и масштабе.
Дальше этот приём связывается с прямой пропорциональностью, процентами и решением текстовых задач. В таких ситуациях величины распределяются или изменяются согласованно, а отношение помогает описать эту связь. Умение выделять условные доли делает решение подобных задач понятнее.
Почему нельзя просто разделить общую величину на первое число отношения?
Общая величина составлена из всех условных долей отношения, а не только из долей первой части. Поэтому сначала нужно сложить числа отношения и разделить величину на эту сумму.
Что означает коэффициент пропорциональности в такой задаче?
Это величина одной условной доли. Её находят, разделив общую величину на сумму чисел отношения, а затем умножают на число долей каждой части.
Как понять, какое число отношения соответствует каждой части?
Порядок чисел задаёт порядок частей. Если части перечислены как первая и вторая, а отношение равно 2:3, то первой соответствуют 2 доли, второй — 3.
Можно ли делить в пропорциональном отношении на три и более частей?
Да. Нужно сложить все числа отношения, найти величину одной условной доли и умножить её на каждое число по порядку. Так же поступают при делении на четыре и больше частей.
Как проверить, что части найдены правильно?
Сложите найденные части: их сумма должна равняться исходной величине. Дополнительно можно сравнить части: их отношение должно совпадать с заданным.
5. Пропорциональное деление
