"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорция помогает находить неизвестное значение, если известны три связанных значения величин. Сначала нужно понять, как величины зависят друг от друга: при прямой пропорциональности они изменяются в одну сторону, а при обратной — в разные. Затем значения записывают в согласованном порядке и используют основное свойство пропорции. В конце проверяют, подходит ли результат к условию задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух чисел — это частное этих чисел; запись a : b означает, что a делят на b, где b не равно нулю. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое составляет от второго. Это нужно, чтобы сравнивать величины и записывать их связь числами.
Пропорция — это равенство двух отношений. Запись a : b = c : d читают: «a относится к b так же, как c относится к d». Она показывает, что пары чисел связаны одинаковым отношением, и помогает найти одно неизвестное значение по трём известным.
В пропорции a : b = c : d числа a и d называют крайними членами, а b и c — средними членами. Названия зависят от мест чисел в записи: крайние стоят по краям, средние — между ними. Если подписать эти места, легче правильно применить свойство пропорции.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Для записи a : b = c : d это означает a · d = b · c. Благодаря этому равенству пропорцию можно превратить в уравнение и найти неизвестный член.
Сначала выдели в условии величины, например массу яблок и объём сока, и выпиши их значения с единицами измерения. Сопоставляй значения, которые относятся к одной и той же ситуации: например, массу одной партии яблок и полученный из неё сок. Так не перепутаются данные из разных случаев и будет понятно, что именно требуется найти.
Затем выясни, как связаны величины, если остальные условия не меняются. Если при увеличении одной величины в несколько раз другая тоже увеличивается во столько же раз, зависимость прямая. Если одна величина растёт, а другая во столько же раз уменьшается, зависимость обратная; например, больше одинаковых насосов наполняют резервуар быстрее.
При прямой зависимости отношения соответствующих значений равны. Если известны пары величин x₁ и y₁, x₂ и y₂, можно записать x₁ : x₂ = y₁ : y₂, сохраняя порядок: первая ситуация сравнивается со второй с обеих сторон. Из этой записи составляют пропорцию и обозначают неизвестное буквой.
Чтобы найти неизвестный член, используй основное свойство пропорции: перемножь крайние и средние члены и приравняй произведения. Например, из a : b = c : x получается a · x = b · c, откуда x можно найти делением на a. Выполняй вычисления с единицами измерения в уме, а в ответе укажи нужную единицу.
При обратной зависимости составляют равенство произведений соответствующих значений, потому что произведение двух величин остаётся постоянным. После вычислений проверь результат по смыслу: при большей скорости время пути должно стать меньше, а при большем числе насосов — уменьшиться время наполнения. Также проверь единицы измерения и подстановкой убедись, что найденное значение согласуется с условием.
| Вид зависимости | Как меняются величины | Как связаны отношения | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Прямая пропорциональность | Одна величина растёт или уменьшается во столько же раз, что и другая. | Отношения соответствующих значений равны. | Условия остаются неизменными, порядок значений согласован. |
| Обратная пропорциональность | Одна величина растёт, а другая уменьшается во столько же раз. | Произведения соответствующих значений равны. | Произведение сохраняется при неизменных условиях. |
| Обозначение неизвестной величины | Неизвестное значение заменяют буквой, например x. | Букву включают в равенство отношений или произведений. | Записана ли рядом нужная единица измерения. |
| Проверка соответствия величин в пропорции | Каждое значение относится к своей ситуации и величине. | Сравнения записаны в одном порядке. | Не перепутаны ли соответствующие пары значений. |
Сначала найди в таблице подходящий вид зависимости, затем выбери нужную запись: равенство отношений или равенство произведений. Последняя колонка помогает проверить, не перепутаны ли условия и порядок значений. Если зависимость не удаётся определить, вернись к условию и подумай, что изменится при увеличении одной величины.
Задача 1. За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? При одинаковой цене за штуку общая стоимость растёт вместе с количеством тетрадей, значит, зависимость прямая.
Ответ: 150 рублей.
Задача 2. Из 8 кг яблок получают 5 л сока. Сколько сока получится из 24 кг яблок при том же выходе? Масса яблок увеличивается в 3 раза, поэтому объём сока тоже увеличится в 3 раза: величины прямо пропорциональны.
Ответ: 15 л сока.
Задача 3. Четыре насоса одинаковой мощности наполняют резервуар за 15 часов. За сколько часов наполнят его 6 таких насосов? Насосов стало больше, значит, время наполнения должно уменьшиться; зависимость обратная, поэтому приравниваем произведения.
Ответ: 10 часов.
Ошибка — считать любые две величины прямо пропорциональными. Её допускают, если смотрят только на то, что обе величины меняются, но не проверяют направление и кратность изменения. Проверь, что происходит со второй величиной при увеличении первой в несколько раз. Если она уменьшается, зависимость не прямая.
Ошибка — записывать соответствующие отношения в разном порядке. Например, сравнить массу яблок в порядке «первая партия ко второй», а объём сока — «вторая партия к первой». Так равенство теряет смысл, хотя числа могут выглядеть правдоподобно. Подпиши значения по ситуациям и сравнивай сначала первую со второй в обоих отношениях.
Ошибка — при обратной зависимости составлять такую же пропорцию отношений, как при прямой. Это происходит, когда правило выбирают по привычке, не разбирая, как меняются величины. Проверь, остаётся ли постоянным произведение: если при росте одной величины другая уменьшается, составь равенство произведений.
Ошибка — перепутать средние и крайние члены или неверно перемножить их. При вычислениях легко потерять, какие числа стоят по краям записи, особенно если неизвестное обозначено буквой. Сначала выпиши члены пропорции по местам и подпиши крайние и средние, затем составь равенство произведений. В конце подставь найденное число и проверь равенство.
Для решения задач с пропорциями нужно уметь находить отношение чисел, сокращать дроби и решать простые уравнения. Эти умения нужны, чтобы верно записать отношения и вычислить неизвестное после перемножения членов. Если с вычислениями трудно, сначала потренируйся на простых примерах без текстового условия.
Пропорции встречаются при работе с масштабом, процентами, скоростью и производительностью, а также при переводе единиц измерения. Во всех таких задачах важно установить, какие значения связаны и как именно они изменяются. Это помогает выбрать подходящий способ записи и оценить, правдоподобен ли ответ.
Как понять, прямо или обратно пропорциональны величины?
Проверь, что происходит с одной величиной, если другую увеличить в несколько раз при неизменных условиях. При прямой пропорциональности первая тоже увеличится во столько же раз. При обратной пропорциональности она уменьшится во столько же раз.
Как правильно записать пропорцию по условию задачи?
Запиши значения двух величин в одинаковом порядке: например, сначала массу, затем объём. Для прямо пропорциональных величин составь равенство отношений соответствующих значений. Если зависимость обратная, запиши равенство произведений соответствующих значений.
Как найти неизвестный член пропорции?
Обозначь неизвестное буквой и определи, какие члены пропорции крайние, а какие средние. Перемножь крайние и средние члены, а затем реши получившееся уравнение. После вычисления проверь ответ подстановкой.
Почему при обратной пропорциональности перемножают значения?
При обратной зависимости увеличение одной величины во столько же раз уменьшает другую. Поэтому их произведение остаётся неизменным: например, если работников стало больше, время выполнения той же работы сокращается. Это позволяет приравнять произведения соответствующих пар значений.
Как проверить, что задача решена правильно?
Подставь найденное значение в условие и проверь, выполняется ли нужная зависимость. Убедись, что ответ имеет подходящие единицы измерения и разумную величину. Например, при увеличении числа одинаковых насосов время работы не должно увеличиться.
4. Решение задач с помощью пропорций
