"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорция помогает находить неизвестную величину, когда две пары величин связаны одинаковым отношением или известной зависимостью. Чтобы решить задачу, нужно понять, как меняются величины, записать отношения в одном порядке и приравнять их. Затем применяют основное свойство пропорции и проверяют результат по смыслу: подходят ли единицы измерения и разумно ли изменились величины. Так решают задачи о цене, объёме, времени, скорости и производительности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пропорция — это равенство двух отношений. Её записывают, например, так: a:b = c:d, и читают: «a относится к b так же, как c относится к d». Пропорция нужна, чтобы связать две пары величин и найти неизвестное значение.
Крайние члены пропорции — первый и последний члены записи, то есть a и d в пропорции a:b = c:d. Их название помогает не перепутать, какие числа перемножать при решении. Крайние члены стоят по краям записи.
Средние члены пропорции — второй и третий члены, то есть b и c в записи a:b = c:d. Они находятся между крайними. Когда применяешь основное свойство пропорции, произведение средних членов приравнивают к произведению крайних.
Прямая пропорциональность — зависимость, при которой увеличение одной величины в несколько раз увеличивает другую во столько же раз. Например, при неизменной цене стоимость покупок растёт вместе с их количеством. Это помогает понять, какие отношения можно приравнять в задаче.
Условие задачи часто сообщает две пары связанных величин: например, количество тетрадей и их стоимость. Если связь одинаковая, можно составить равные отношения. Важно записывать величины в одном порядке: количество делить на стоимость в обеих парах или стоимость делить на количество в обеих. Иначе записи будут сравнивать разные отношения и не опишут условие.
До составления пропорции выясни, что именно связывает величины: одна ли увеличивается вместе с другой или они меняются в противоположных направлениях. Также проверь единицы измерения, потому что сравнивать можно только согласованные величины. Например, если в одной части условия масса дана в килограммах, а в другой — в граммах, сначала переведи их в одинаковые единицы. Так числа в отношении будут означать сопоставимые величины.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Для a:b = c:d это записывается так: a·d = b·c. Если представить отношения дробями, получится a/b = c/d; умножая обе части на b·d, получаем a·d = b·c. Свойство позволяет превратить равенство отношений в удобное уравнение и найти неизвестный член.
Сначала обозначь неизвестную величину буквой, затем составь пропорцию по условию и запиши равенство произведений крайних и средних членов. Реши полученное уравнение, после чего проверь, что найдено именно то, о чём спрашивали. В конце оцени результат по смыслу: подходят ли единицы измерения и не противоречит ли число условию. Проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или в самой пропорции.
При обратной зависимости одна величина растёт, а другая уменьшается: например, больше одинаковых насосов наполняют резервуар быстрее. Поэтому нельзя механически поставить соответствующие величины в том же направлении, что и при прямой зависимости. Можно сравнить число насосов в одном порядке, а время — в обратном: больше насосов соответствует меньшему времени. Такой порядок отражает условие и позволяет записать верную пропорцию.
| Ситуация | Связь величин | Что сравнивать | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Прямая зависимость | Величины изменяются в одном направлении | Соответствующие отношения в одинаковом порядке | При увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же |
| Обратная зависимость | Одна величина растёт, другая уменьшается | Одну из величин сравнивать в обратном порядке | Остальные условия должны оставаться неизменными |
| Величины заданы в разных единицах | Связь определяется условием задачи | Одинаковые величины после перевода единиц | Заранее перевести, например, граммы в килограммы |
| Проверка найденного ответа | Ответ должен соответствовать связи величин | Полученное значение и исходное условие | Проверить единицы, направление изменения и смысл ответа |
Сначала найди в таблице ситуацию, похожую на задачу, и определи связь величин. Затем проверь порядок сравнения и единицы измерения, прежде чем записывать пропорцию. После вычислений воспользуйся последней строкой: ответ должен подходить условию, а не только получаться при умножении.
За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Нужно узнать стоимость 5 таких тетрадей. Чем больше тетрадей покупают, тем выше общая стоимость при той же цене одной тетради, значит, зависимость прямая.
Ответ: 5 тетрадей стоят 150 рублей.
Из 4 кг яблок получают 2 л сока. Нужно найти, сколько сока получится из 10 кг яблок при том же выходе. Чем больше масса яблок, тем больше сока при неизменных условиях, поэтому зависимость прямая.
Ответ: получится 5 л сока.
Шесть одинаковых насосов наполняют резервуар за 8 часов. Нужно узнать время работы четырёх таких насосов. При одинаковой производительности меньше насосов будут наполнять резервуар дольше, поэтому зависимость числа насосов и времени обратная.
Ответ: четыре насоса наполнят резервуар за 12 часов.
Отношения записывают в разном порядке: например, количество к цене в одном, а цену к количеству в другом. Это случается, когда при записи не следят за тем, какая величина стоит первой. Перед вычислениями подпиши словами порядок величин в каждом отношении и проверь, что он совпадает.
Зависимость называют прямой, не проверив условие задачи. Тогда при обратной зависимости получается ответ не в ту сторону: например, меньше насосов неожиданно дают меньшее время. Спроси себя, как изменится одна величина, если другую увеличить в несколько раз, и проверь, остаются ли прочие условия неизменными.
При применении свойства пропорции перемножают не те члены или неверно находят неизвестный множитель. Причина часто в том, что средние и крайние члены путают по расположению. В записи a:b = c:d сначала отметь крайние a и d, средние b и c, а затем проверь равенство a·d = b·c.
Единицы измерения оставляют разными или не проверяют ответ после вычислений. Из-за этого вычисление может быть правильным, но число не подойдёт условию, например масса в граммах окажется сопоставлена с массой в килограммах. Приведи величины к согласованным единицам и оцени, должен ли ответ быть больше или меньше исходного значения.
Для решения задач с пропорциями нужно уметь находить отношение величин, сокращать отношения и выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями. Эти навыки помогают правильно записать пропорцию и вычислить неизвестное. Тема также опирается на прямую и обратную зависимость величин: без их различения нельзя выбрать верный порядок сравнения.
Пропорции пригодятся в задачах на масштаб, проценты, скорость и производительность. Во всех таких случаях нужно определить, какие величины сравниваются и как одна зависит от другой. Затем можно построить равные отношения и проверить результат по условию.
Как понять, какие отношения нужно приравнять?
Найди две пары соответствующих величин из условия и сравни их в одинаковом порядке. Например, если сравниваешь количество и цену, в обоих отношениях сначала записывай количество, затем цену.
Как определить, прямая зависимость в задаче или обратная?
Проверь, что происходит с одной величиной, когда другая увеличивается в несколько раз. При прямой зависимости в столько же раз увеличивается и вторая величина; при обратной она во столько же раз уменьшается, если остальные условия не меняются.
Почему в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних?
В записи a:b = c:d можно заменить отношения дробями: a/b = c/d. При умножении обеих частей на b·d получаем a·d = b·c, то есть произведение крайних членов равно произведению средних.
Что делать, если величины в условии выражены в разных единицах?
Сначала переведи их в согласованные единицы, чтобы сравнивать одни и те же величины. Например, перед вычислениями переведи граммы в килограммы или минуты в часы, если это нужно для решения.
Как проверить, что ответ задачи с пропорцией разумный?
Подставь найденное значение в условие и проверь, отвечает ли оно на вопрос задачи. Сравни его с исходными величинами: при прямой зависимости оно должно изменяться в том же направлении, а при обратной — в противоположном.
4. Решение задач с помощью пропорций
