"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Пропорциональные зависимости показывают, как меняется одна величина при изменении другой. Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx, а обратная — формулой y = k/x. По таблице значений можно построить график и увидеть, как связаны величины: прямая зависимость изображается прямой через начало координат, а обратная — двумя плавными ветвями. Эти графики помогают сравнивать величины и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая пропорциональность — зависимость вида y = kx, где k — постоянное число, а x и y — связанные величины. Если x увеличить, например, в 3 раза, то и y увеличится в 3 раза; если x уменьшить в 2 раза, y тоже уменьшится в 2 раза. Такую формулу используют, когда величины меняются одинаково во сколько раз.
Коэффициент прямой пропорциональности — число k в формуле y = kx. Чтобы найти значение y при заданном x, нужно подставить x в формулу и умножить его на k. Например, при k = 4 и x = 3 получаем y = 4 · 3 = 12; знание коэффициента позволяет быстро вычислять значения и строить график.
Обратная пропорциональность — зависимость вида y = k/x, где x ≠ 0, а k — постоянное число. Здесь произведение x и y остаётся одним и тем же: xy = k. Например, если x увеличивается в 2 раза, то y уменьшается в 2 раза; такую зависимость удобно узнавать по постоянному произведению.
График зависимости — множество точек с координатами (x; y), значения которых удовлетворяют заданному правилу. Каждая точка показывает одну пару связанных значений, а все точки вместе помогают увидеть общую картину изменения величин. По графику можно сравнить значения и понять, как ведёт себя зависимость между выбранными значениями.
Чтобы построить график прямой пропорциональности, сначала составляют таблицу: выбирают несколько значений x и для каждого находят y по формуле y = kx. Например, если k = 2, то при x = 0, 1, 2 получаются y = 0, 2, 4. Каждая пара становится точкой на координатной плоскости, а все точки лежат на одной прямой, потому что правило умножения на одно и то же число задаёт постоянный наклон.
График y = kx проходит через начало координат: когда x равен нулю, произведение kx тоже равно нулю. Поэтому точка (0; 0) подходит формуле при любом k. Если k положительно, значения x и y имеют одинаковые знаки, а если k отрицательно — разные; чем больше |k|, тем круче наклон прямой, поскольку y быстрее меняется при изменении x.
Для обратной зависимости y = k/x тоже составляют таблицу, но подбирают ненулевые значения x, с которыми удобно делить k. Например, для k = 12 можно взять x = 1, 2, 3, 4 и 6: значения y получаются целыми. Произведение каждой пары x и y равно 12, поэтому таблица подтверждает формулу; ноль выбирать нельзя, потому что деление на него не определено.
График обратной пропорциональности состоит из двух плавных ветвей. При увеличении |x| значение |y| уменьшается, так как одно и то же произведение нужно сохранить: большему x соответствует меньший по модулю y. Если k положительно, x и y имеют одинаковые знаки и ветви расположены в первой и третьей четвертях; если k отрицательно — вторая и четвёртая четверти.
Для обоих графиков порядок действий одинаков: выбрать допустимые значения x, вычислить соответствующие y, нанести точки и провести линию. Для y = kx точки соединяют прямой, а для y = k/x — плавной кривой, которая проходит через нанесённые точки. Перед построением полезно проверить каждую пару подстановкой в формулу: тогда на графике не окажутся точки, которые ей не соответствуют.
| Свойство | y = kx | y = k/x |
|---|---|---|
| Допустимые значения x | Любые числа | Любые числа, кроме 0 |
| Как связаны x и y | Отношение y/x = k постоянно | Произведение xy = k постоянно |
| Форма графика | Прямая | Две плавные ветви |
| Проходит ли график через начало координат | Да | Нет |
| Расположение графика при k > 0 | В первой и третьей четвертях | В первой и третьей четвертях |
| Как меняется y при увеличении x > 0 | При k > 0 увеличивается | При k > 0 уменьшается |
Сначала найди в таблице строку о связи x и y: она помогает определить тип зависимости по формуле или значениям. Затем сравни форму графика и допустимые значения x. Последняя строка описывает случай k > 0; если коэффициент отрицательный, направление изменения будет противоположным.
Нужно вычислить y для каждого заданного x, нанести полученные пары на координатную плоскость и провести график. Поскольку формула имеет вид y = kx, график будет прямой. Проверим также, что среди точек есть начало координат.
Ответ: точки графика: (0; 0), (1; 2), (2; 4), (3; 6); график — прямая через начало координат.
Здесь задана обратная пропорциональность, поэтому нужно разделить 12 на каждое значение x. Выбранные x не равны нулю, а деление даёт целые значения y. После вычислений проверим постоянство произведения и нанесём точки.
Ответ: значения y равны 12, 6, 4, 3, 2; произведение xy во всех парах равно 12.
Сначала по известной паре найдём постоянное произведение: для обратной пропорциональности оно равно коэффициенту k. Затем запишем формулу, вычислим новое значение и используем её для построения графика. Так исходные данные помогут не только ответить на вопрос, но и восстановить всю зависимость.
Ответ: k = 24, формула y = 24/x, при x = 6 значение y = 4.
Ошибка — считать графиком прямой пропорциональности любую прямую. Так думают, потому что формула выглядит простой, но прямая пропорциональность задаётся не любой линейной зависимостью: график y = kx обязательно проходит через (0; 0). Проверь себя: подставь x = 0 в формулу и убедись, что y тоже равен нулю.
Ошибка — подставлять x = 0 в формулу обратной пропорциональности. Иногда это делают, пытаясь проверить, проходит ли график через начало координат, но выражение k/x при нуле не определено. Перед вычислениями проверь допустимость x: знаменатель не должен быть равен нулю.
Ошибка — путать формулы y = kx и y = k/x. В обеих встречается коэффициент k, поэтому их легко перепутать, но в первом случае постоянно отношение y/x, а во втором — произведение xy. Проверка по таблице проста: вычисли отношения или произведения для всех пар и посмотри, что остаётся одинаковым.
Ошибка — соединять точки обратной пропорциональности отрезками или доводить ветви до осей. Отрезки не показывают плавное изменение зависимости, а пересечение осей противоречит формуле: x = 0 запрещён, а y не становится равным нулю при конечном x. Проведи плавные ветви через точки и оставь расстояние до осей: график приближается к ним, но не пересекает.
Для построения графиков нужны навыки работы с координатной плоскостью: важно правильно отмечать точки и читать их координаты. Также пригодятся умение составлять таблицу по формуле, делить и умножать числа, понимать отношение и произведение величин. Позже графики помогут изучать функции и анализировать зависимости, а в задачах по физике — описывать связь между величинами.
Почему график прямой пропорциональности обязательно проходит через начало координат?
При x = 0 формула y = kx даёт y = 0. Значит, точка (0; 0) всегда принадлежит графику.
Как по формуле понять, прямая это пропорциональность или обратная?
Если переменные связаны формулой y = kx, это прямая пропорциональность: отношение y/x постоянно. Если формула имеет вид y = k/x, это обратная пропорциональность: постоянно произведение xy.
Что показывает коэффициент k в формуле y = kx?
Он показывает, во сколько раз y отличается от x, и помогает вычислить y: нужно умножить заданное x на k. Знак и величина k влияют на наклон прямой.
Почему в формуле y = k/x нельзя подставить x = 0?
На ноль делить нельзя, поэтому выражение k/x при x = 0 не определено. Значение x = 0 не входит в область допустимых значений.
Как проверить по таблице значений, что зависимость является обратной пропорциональностью?
Перемножь значения x и y в каждой паре таблицы. Если все произведения одинаковы, зависимость может быть обратной пропорциональностью, а общее произведение — это коэффициент k.
3. Графики прямой и обратной пропорциональности
